Proceduri numerice de analiză sistemică

6.1 Tema

Elaborarea, implementarea si testarea procedurilor de analiza numerica a proprietatilor sistemice

fundamentale (stabilitate, controlabilitate si observabilitate, etc.).

6.2 Teste numerice de stabilitate a sistemelor liniare

Stabilitatea unui sistem liniar S = (A;B;C) este o proprietate ce depinde numai de matricea

A. Mai precis, sistemul S este stabil daca matricea de tranzitie (t) asociata lui A satisface

conditia (t) ! 0 c^and t ! 1. Deoarece matricea de tranzitie are expresii diferite ^n cazurile

continuu si discret, adica (t) = etA; t 2 R, respectiv (t) = At; t 2 N, proprietatea de

stabilitate are si ea exprimari diferite ^n cele doua cazuri.

Denitia 6.1 Matricea A a unui sistem continuu este stabila daca toate valorile proprii ale lui

A au partea reala strict negativa, deci sunt plasate ^n semiplanul st^ang deschis C al planului

complex C.

Pe scurt, criteriul (conditia necesara si sucienta) de stabilitate^n cazul continuu este (A) 

C? sau, mai sugestiv, Re(A) < 0:

Denitia 6.2 Matricea A a unui sistem discret este stabila daca toate valorile proprii ale lui A

au modul strict subunitar, deci sunt plasate ^n discul unitate deschis D1(0) din planul complex

C.

Pe scurt, criteriul de stabilitate ^n cazul discret este j(A)j < 1:

Deoarece ^n ambele cazuri, continuu si discret, proprietatea de stabilitate vizeaza o anumita

plasare a valorilor proprii, iar acestea se calculeaza ecient utiliz^and algoritmul QR, obtinem

urmatorul test de stabilitate pentru sisteme liniare.

Algoritmul 6.1 (Data o matrice patrata A si variabila sir de caractere tip,

algoritmul testeaza stabilitatea matricei A).

1.  = eig(A) % Se calculeaza valorile proprii (A) utiliz^and algoritmul QR (fara

acumularea transformarilor).

2 LABORATOR 6. PROCEDURI NUMERICE DE ANALIZA SISTEMICA

2. Daca tip='continuu' atunci

1. Se determina = max Re(i).

2. Daca < 0 atunci

1. Tipareste 'Sistemul continuu este stabil'

altfel

2. Tipareste 'Sistemul continuu este stabil'

3. Daca tip='discret' atunci

1. Se determina  = max j(A)j.

2. Daca  < 1 atunci

1. Tipareste 'Sistemul discret este stabil.'

altfel

2. Tipareste 'Sistemul discret este instabil.'

6.3 Teste numerice de controlabilitate si observabilitate a

sistemelor liniare

Un sistem liniar S = (A;B;C) este controlabil daca orice tranzitie de stare dorita poate

realizata prin alegerea adecvata a functiei de intrare. Prin urmare, controlabilitatea sistemului

liniar S este o proprietate ce depinde numai de perechea (A;B).

Introduc^and matricea de controlabiltate R, denita de

R =



B AB : : : An1B



; (6.1)

avem urmatoarea denitie, valabila at^at pentru sistemele continue c^at si pentru cele discrete.

Denitia 6.3 Perechea (A;B) este controlabila daca si numai daca

rangR = n: (6.2)

Daca perechea (A;B) are o singura intrare, deci m = 1, atunci R este patrata si conditia

ca perechea (A;B) sa e controlabila se reduce la conditia ca matricea de controlabilitate R sa

e nesingulara.

Un sistem liniar S = (A;B;C) este observabil daca starea initiala este unic determinata

cunosc^and functiile de intrare si iesire, obtinute e.g. prin masuratori efectuate la terminalele

lui S. Deci, observabilitatea sistemului liniar S depinde numai de perechea (C;A).

Introduc^and matricea de observabilitate

Q =

2

6664

C

CA

...

CAn1

3

7775

; (6.3)

avem urmatoarea denitie, valabila at^at pentru sistemele continue c^at si pentru cele discrete.

Denitia 6.4 Perechea (C;A) este observabila daca si numai daca este satisfacuta conditia de

rang

rangQ = n: (6.4)