Aritmetica în Precizie Multiplă

I. Aritmetica

Scopul principal al acestui capitol este de a efectua un studiu minuţios asupra celor patru procese de bază ale aritmeticii: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea. Mulţi privesc aritmetica drept un lucru fără însemnătate, pe care îl învaţă copiii şi cu care lucrează calculatoarele, dar aritmetica este un subiect fascinant, avănd multe implicaţii interesante. Întrucît aritmetica fundamentează atît de multe aplicaţii ale calculatoarelor, este important să facem un studiu amănunţit asupra metodelor eficiente de calcul cu numere.

Aritmetica este o disciplină vie care a jucat un rol important în istoria omenirii, fiind carecterizată în continuare printr-o rapidă dezvoltare. În acest capitol se analizează algoritmi pentru efectuarea de operaţii aritmetice asupra mai multor tipuri de cantităţi, cum sunt numerele cu "punct mobil", numere foarte mari.

I.1. Sisteme poziţionale de numerotaţie

Modul în care studiem aritmetica este strîns legat de modul în care reprezentăm numerele cu care lucrăm. Vom începe studiul asupra acestei discipline cu o discuţie privind principalele metode de reprezentare a numerelor.

Notaţia poziţională folosind baza b este definită prin regula

În cazul sistemului de numeraţie zecimal b este zece, iar coeficienţii a sunt aleşi dintre "cifrele zecimale" 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Generalizarea sistemului de numeraţie zecimal se obţine cînd b este un întreg mai mare decît 1, iar coeficienţii a sunt întregi cuprinşi în intervalul 0ak<b. Astfel avem sistem standard de numeraţie binar (b=2), ternar (b=3), cuaternar (b=4), cinquinar (b=5).

Punctul care apare între a0 şi a-1 este denumit punctul bazei, cînd b=10 se numeşte punct zecimal, iar cînd b=2 poartă denumirea de punct binar etc. Europenii de pe continent folosesc virgula în locul punctului, englezii folosesc în mod frecvent un punct mai ridicat.

Coeficienţii a sunt numiţi cifre ale reprezentării. Cînd indicele k este mare, cifra ak este „mai semnificativă“ decît cifra ak avînd k mai mic, ne referim la cifra situată la extremitatea din stînga a numărului ca fiind cea mai semnificativă cifră, iar la cifra situată la extremitatea din dreapta ca fiind cea mai puţin semnificativă cifră. În sistemul standard de numeraţie binar, cifrele binare sînt numite biţi, iar în sistemul standard de numeraţie hexazecimal (cu baza 16) cifrele hexazecimale de la zero la cincisprezece sînt de obicei notate prin simboluri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

I.2. Aritmetica numerelor reprezentate cu punct mobil

Secţiunea este destinată studiului principiilor de bază ale aritmeticii numerelor cu "punct mobil", prin analiza mecanismelor interne care stau la baza unor astfel de calcule. Calculatoarele de astăzi au instrucţiuni cablate pentru calcule în sistemul de reprezentare cu punct mobil, fie că posedă subrutinele corespunzătoare.

I.2.1. Calcule cu precizie simplă

A. Notaţia cu punct mobil. În aceasta secţiune poziţia punctului bazei este în mod

dinamic fie variabila fie "mobilă", iar pe masură ce programul se execută se ataşează fiecărui număr o indicaţie privind poziţia curentă a punctului bazei sale. Este necesar în special pentru exprimarea numerelor foarte mari sau a numerelor foarte mici.

În aceasta secţiune vom lucra cu numere reprezentate cu punct mobil în baza b, cu exces de q, pe lungime de p cifre. Numerele vor fi reprezentate prin perechi de valori (e,f), unde e este partea exponenţială iar f este partea fracţională. Perechea are semnificaţia

Aici e este un întreg avînd valoarea specificată, iar f este o fracţie cu semn. Vom adopta convenţia modul din f fiind mai mic ca unu. Punctul bazei apare la stînga reprezentării poziţionale a lui f, iar afirmaţia că avem numere cu p cifre înseamnă că

B. Calcule normalizate. Un număr cu punct mobil (e,f) este normalizat dacă cifra cea mai semnificativă a reprezentării lui f este diferită de zero, astfel că 1/b  | f | < 1, sau dacă f = 0 iar e are cea mai mică valoare posibilă. Pentru a afla care dintre două numere cu virgulă mobilă normalizate este mai mare, comparăm mai întîi părţile exponenţiale, iar apoi testăm părţile fracţionale numai dacă exponenţii sînt egali.