Ecuații Diferențiale Liniare cu Coeficienți Constanți

INTRODUCERE

Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de exemplu în mecanică, în studiul circuitelor electrice, al oscilaţiilor, astronomie, termodinamică, optică, elasticitate, chimie, biologie

Necesitatea dezvoltării acestei teorii a început odată cu apariţia calculului diferenţial şi integral şi derivă din faptul că numeroase fenomene şi procese din natură se modelează matematic prin ecuaţii diferenţiale sau prin ecuaţii cu derivate parţiale.

Iată cîteva dintre aceste procese: mişcarea unui punct material într-un cîmp conservativ, vibraţiile unui sistem oscilant, căderea liberă a corpurilor, deplasarea unei membrane elastice sub acţiunea unei sarcini repartizată continuu, propagarea căldurii într-o bară, dezintegrarea radioactivă, creşterea populaţiei, diverse reacţii chimice etc.

Un valoros aport în dezvoltarea teoriei ecuaţiilor diferenţiale i se atribuie renumitului academician L. Euler. Dintre numeroasele rezultate obţinute de Euler în domeniul ecuaţiilor diferenţiale, amintim şi metoda de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi, cu numeroase aplicaţii în mecanică şi fizică. Şi astfel, în memoriul publicat în 1743 Euler a dat metoda clasică de rezolvare a unei ecuaţii liniare omogene de orice ordin cu coeficienţi constanţi prin intermediul substituţiei, y=e^kx, iar în cazul unor rădăcini multiple reale, acest lucru era realizat cu ajutorul substituţiei e^kx u. Dar în cazul unei perechi de rădăcini coplexe α±βi, utilizînd o substituţie similară e^kx u, a reuşit să reducă problema la ecuaţia:

(d^2 u)/〖dx〗^2 +β^2 u=0,

a cărei soluţie trigonometrică îi era cunoscută. În lucrarea “Elemente de calcul diferenţial” Euler denotă faptul că soluţia generală a unei ecuaţii omogene de ordinul n este o combinaţie liniară de n soluţii particulare şi a introdus, pentru prima dată, noţiunile de soluţie particulară şi soluţie generală, ecuaţie integrală completă. Peste 10 ani Euler a publicat o metodă de rezolvare a ecuaţei liniare neomogene cu coeficienţi constanţi cu ajutorul micşorării sucessive a ordinului ei.

Matematica a elaborat teoria sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinale pe baza studiului ecuaţiilor fundamentale ale dinamicii. Un studiu mai amplu al sistemelor a fost început de d'Alembert, care a aplicat la sistemele liniare omogene cu coeficienţi constanţi metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Alegînd coeficienţii astfel încît combinaţia liniară a părţilor stîngi ale ecuaţiilor să se reducă la forma du+kudt=0, d'Alembert, a obţinut în fond, pentru determinarea coeficienţilor aşa numita ecuaţie seculară.

Lucrarea de faţă conţine un minimum de cunoştinţe de bază din domeniul ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale, liniare cu coeficienţi constanţi, care nu pot să lipsească din sistemul de cunoştinţe a unui matematician.

Scopul tezei de licenţă constă în cercetarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale, liniare cu coeficienţi constanţi.

Ca obiective de studiu şi aplicare în teza de licenţă se pot evidenţia următoarele:

descrierea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi, metoda lui Lagrange de variaţie a constantelor arbitrare şi metoda coeficienţilor nedeterminaţi;

rezolvarea integrală a unor exemple care vor contribui la o mai bună înţelegere a teoriei.

Teza de licenţă este alcătuită din 4 capitole, introducere, concluzii şi 5 anexe.

În primul capitol se cercetează ecuaţiile diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi şi anume se studiază forma soluţiei generale a ecuaţiei liniare, omogene, considerîndu-se toate cazurile posibile.

În capitolul doi sunt studiate ecuaţiile diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi cu partea dreaptă de formă specială. Se cercetează o serie de cazuri în care ecuaţia diferenţială neomogenă cu coeficienţi constanţi poate fi integrată fără cuadraturi prin metode pur algebrice, şi anume aplicînd metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

În capitolul trei este dezvăluită teoria reflectată de sistemele de ecuaţii diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi şi anume se studiază cazurile de rezolvare a sistemelor de ecuaţii diferenţiale în funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei caracteristice.

În capitolul patru sunt prezentate sistemele de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi. Este descrisă metoda de rezolvare a sistemului neomogen prin aplicarea metodei lui Lagrange de variaţie a constantelor.

CAPITOLUL I. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi

1.1. Noţiune de ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi. Noţiune de ecuaţie caracteristică

Definiţie([3]). Se numeşte ecuaţie diferenţială liniară omogenă de ordinul n cu coeficienţi constanţi o ecuaţie de forma

L[y]≡y^((n))+a_1 y^((n-1) )+⋯+a_(n-1) y^'+a_n y=0, (1.1)

unde coeficienţii a_1, ... , a_n sunt numere reale, iar y este o funcţie necunoscută diferenţiabilă de n ori pe un anumit interval I⊂R.

În acest caz integrarea ecuaţiei (1.1) este întotdeauna posibilă în funcţii elementare şi nu se reduce la cuadraturi, dar la operaţii algebrice.

Se observă, că conform proprietăţilor generale ale ecuaţiilor liniare este suficient să găsim n soluţii parţiale ale ecuaţiei omogene, ce formează un sistem fundamental, adică n soluţii liniar independente. Pentru aceasta este necesar de a determina care funcţii elementare pot transforma ecuaţia (1.1) în identitate, adică după substituirea soluţiei în partea stîngă a ecuaţiei, acolo să fie termeni asemenea, suma cărora să fie egală cu zero. Din calculul diferenţial se cunoaşte o singură funcţie, care este asemenea cu toate derivatele sale în sensul algebrei elementare şi anume funcţia e^kx, unde k este o constantă. Astfel, vom încerca să satisfacem ecuaţia (1.1),