Formula lui Taylor și aplicații

Introducere

Una din notiunile fundamentale ale analizei matematice si în fond a în-

tregii stiinte, este cea de derivata, atribuita lui G. Leibniz (1646-1716) si I.

Newton (1642-1727).

Aceasta notiune modeleaza cea ce s-ar numi "viteza de variatie a unei

functii", permite adâncirea studiului local si global al functiilor si în acelasi

timp sta la baza formularii matematice a numeroase legi ale …zicii. Dar si în

alte teorii (chimice, economice, sociale, etc.) derivatele sunt folosite în mod

esential pentru descrierea vitezelor de variatie a unor marimi.

O importanta formula, utilizata în special în aproximarea controlabila a

functiilor reale prin polinoame, formula lui Taylor, permite unele precizari în

studiul functiilor initiat în liceu, calculul aproximativ al numerelor irationale

exprimate prin radicali, functii trigonometrice sau logaritmice, calculul lim-

itelor de functii, etc.

Lucrarea de fata este structurata în trei capitole si doreste un sprijin

în studiul derivatelor de ordin superior, a formulei lui Taylor si aplicatiile

acesteia.

Primul capitol cuprinde rezultate teoretice cu privire la functii derivabile

urmând ca în al doilea capitol sa cuprinda formula lui Taylor data sub diferite

forme, iar în ultimul capitol sunt prezentate câteva aplicatii ale acestei for-

mule.

2

1 Capitolul I. DERIVATE DE ORDIN SU-

PERIOR

1.1 Functii derivabile.

De…nitia 1.1.1 Fie A  R o multime, x0 2 A A0 si f : A ! R :

a) Se spune ca functia f are derivata în punctul x0 daca exista limita:

lim

x!x0

f(x) f(x0)

x x0

= f0(x0) (1)

b) Daca derivata f0(x0) exista si este …nita, se spune ca functia f este

derivabila în punctul x0:

Observatia 1.1.1 i) Facând traslatia x x0 = h, atunci rezulta:

f0(x0) = lim

h!0

x0+h2A

f(x0 + h) f(x0)

h

(1’)

ii) Uneori se utilizeaza notatiile 4x = xx0; 4f = f(x)f(x0) si deci:

f0(x0) = lim

4x!0

4f

4x

(1”)

Teorema 1.1.1 Orice functie derivabila într-un punct este continua

în acel punct.

Demonstratie:

Fie f : A ! R, f derivabila în x0 2 A A0:

Deci, exita:

lim

x!x0

f(x) f(x0)

x x0

si sa …e …nita.

Din relatia:

f(x) f(x0) =

f(x) f(x0)

x x0

(x x0); x 6= x0

3

rezulta:

lim

x!x0

(f(x) f(x0)) = lim

x!x0

f(x) f(x0)

x x0
lim

x!x0

(x x0) = f0(x0)
0 = 0

deci:

lim

x!x0

f(x) = f(x0)

adica f este continua în x.

Proprietatea 1.1.1 Orice functie elementara este continua si chiar inde…nit

derivabila pe orice interval deschis continut în domeniul sau de de…nitie.

Proprietatea 1.1.2 Fie I un inerval deschis si x0 2 I un punct de extrem

(relativ) al unei functii f : I ! R. Daca f este derivabila în punctul x0,

atunci f0(x0) = 0 (Teorema lui P. Fermat, 1601-1665).

Proprietatea 1.1.3 Fie f : [a; b] ! R o functie continua pe [a; b], deriv-

abila pe (a; b) si f(a) = f(b): Atunci exista cel putin un  2 (a; b) astfel încât

f0() = 0:(Teorema lui M. Rolle, 1652-1719).

Proprietatea 1.1.4 Fie f : [a; b] ! R o functie continua pe [a; b], deriv-

abila pe (a; b): Atunci:

a) exista cel putin  2 (a; b) astfel încât f(b) f(a) = (b a)f0();

b) f constanta pe [a; b] daca si numai daca f0(x) = 0; 8x 2 (a; b);

c) daca f0 > 0 (respectiv f0 < 0) pe intervalul (a; b), atunci f este

strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) pe [a; b]: (Teorema lui

Lagrange, 1736-1813)

Proprietatea 1.1.5 Fie f; g : [a; b] ! R functii continue pe [a; b] si deriv-

abile pe (a; b). Atunci exista cel putin c 2 (a; b) astfel încât:

(f(b) f(a))g0(c) = (g(b) g(a))f0(c)