Grupuri Simple Finite

INTRODUCERE

Prezentare generală.

Lucrarea cuprinde cinci capitole în care sunt prezentate, în mod gradat, sintetic, cele mai importante noţiuni, teoreme, rezultate, relaţii şi formule din teoria grupurilor.

Noţiunea de grup are numeroase aplicaţii în diverse ramuri ale matematicii, precum şi în fizică.

Primul capitol conţine prezentarea generalizată a câtorva noţiuni din teoria grupurilor.

În capitolul II am prezentat grupurile finite (grupul simetric Sn, grupul rădăcinilor complexe ale unităţii, grupul diedral Dn, grupul cuaternionilor, grupul aditiv al numerelor întregi) şi apoi am reprezentat laticele subgrupurilor pentru aceste grupuri, noţiuni necesare pentru celelalte capitole care urmează.

Capitolul III, vine în continuarea primului capitol şi tratează acţiunile grupurilor pe mulţimi, structura elementelor din grupul Sn, grupul altern An, acţiunile prin conjugare şi clasele de conjugare ale lui Sn, respectiv An.

Capitolul IV studiază p-grupurile finite, care se bazează în esenţă pe considerarea unor acţiuni, iar rezultatele ce se obţin sunt de mare importanţă în studiul grupurilor în general. Tot în acest capitol am prezentat cele trei Teoreme ale lui Sylow care au aplicaţii numeroase şi importante în teoria grupurilor. Exemplele şi aplicaţiile redate sunt dintre cele mai concrete, ele ilustrând însă foarte bine importanţa teoremelor lui Sylow şi modul în care se folosesc ele. O modalitate des utilizată constă în a folosi teoremele lui Sylow pentru a identifica un subgrup normal propriu şi netrivial al unui grup G.

Ultimul capitol (V) arătă că orice grup finit simplu şi neabelian, de ordin ≤ 100, este izomorf cu grupul altern A5, folosind teoremele din Sylow.

CAPITOLUL I

Noţiuni generale

Definiţie.

O mulţime nevidă G împreună cu o operaţie algebrică definită pe G se numeşte grup dacă operaţia algebrică este asociativă, are element neutru şi orice element din G este inversabila. Dacă operaţia algebrică este în plus comutativă, spunem că grupul este comutativ sau abelian.

Pe o mulţime formată dintr-un singur element avem o singură structură de grup în care elemental respectiv este element unitate. Acest grup îl numit grupul unitate sau, dacă operaţia este scrisă aditiv, grupul nul.

Definiţie.

O funcţie f : G G’ se numeşte morfism de grupuri de la G la G’ dacă verifică relaţia:

f (xy) = f(x) f(y), pentru orice x, y G.

Propoziţie.

Pentru un morfism de grupuri : G G’, sunt echivalente următoarele afirmaţii:

a) este injectiv;

b) pentru orice grup H şi orice două morfisme de grupuri f , g: H G, astfel încât

f = g rezultă f = g.

Definiţie.

Fie G un grup, o submulţime M , M G se numeşte subgrup al lui G dacă operaţia lui G induce pe M o operaţie algebrică împreună cu care M formează grup.

Propoziţie.

Fie G un grup şi H o submulţime a lui G. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) H este subgrup al lui G;

b) sunt satisfăcute condiţiile:

1. x, y H xy H;

2. 1 H;

3. x H x-1 H;

c) H este o submulţime nevidă a lui G şi x, y H xy-1 H;

Propoziţie.

Fie G un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Atunci H este subgrup al lui G dacă şi numai dacă HH = H şi H-1 = H. Presupunând în plus că H este o submulţime finită, H este subgrup al lui G dacă şi numai dacă HH  H.

Propoziţie.

Fie H, K subgrupuri ale unui grup G. Atunci HK este un subgrup al lui G dacă şi numai dacă HK = KH.

Definiţie.

Fie G un grup şi H un subgrup al lui G. Pe mulţimea elementelor lui G considerăm relaţia s(mod H) definită prin:

xsy(mod H)  x-1y H

şi numită relaţia de congruenţă la stânga modulo H.

Analog, pentru relaţia de congruenţă la dreapta.

Propoziţie.

Mulţimile ( G/H )s şi ( G/H )d sunt cardinal echivalente.

Definiţie.

Numărul cardinal |(G/H)s| = |(G/H)d| se notează | G :H | şi se numeşte indicele subgrupului H în G.

Propoziţie (Teorema lui Lagrange).

Pentru orice subgrup H al unui grup G avem:

| G | = | H | | G :H |.

Definiţie.

Un grup G se numeşte de tip finit sau finit generat dacă există o mulţime finită de elemente în G care generează pe G. Un grup generat de un singur element se numeşte grup ciclic.