Integrale prime pentru ecuații diferențiale

Introducere

Teoria ecuaţiilor diferenţiale are un rol deosebit de important în matematică şi în alte domenii ale ştiinţei. Astfel la sfârşitul secolului al XIX-lea matematicianul Sophus Lie afirma că teoria ecuaţiilor diferenţiale este cea mai importantă, şi că, teoria ecuaţiilor are şi o importanţă practică deosebită. Această teorie ne arată drumul spre inţelegera fenomenelor naturale depentente de tip. Teoria cuaţiilor diferenţiale îşi are rădăcinile în problemele care s-au pus pentru prima dată în maecanica punctului material, în mecanica sistemelor de puncte materiale, în mecanica fluidelor şi în mecanica solidelor rigide sau deormabile.

Multe probleme de fizică implică la un moment dat găsirea unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale. Acestea sunt esenţiale in fizica clasică şi cuantică şi multe formule utilizate în ingineria chimică, ingineria electrică, mecanică şi ingineria mediului.

Însă nu este intotdeuna posibil şi uneori nici avantajos să scriem soluţiile unei ecuaţii diferenţiale sau a unui sistem de ecuaţii diferenţile, explicit, sub forma unor funţii elementare. Uneori, este posibil să determinăm funcţii elementare care sunt constante pe curbele soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale sau pe traiectoriile sistemelor diferenţiale, acestea sunt integralele prime. Aceste integrale prime ne permit ocazional să deducem proprietăţi care nu sunt intotdeuna observabile in cazul soluţiilor explicite.

Lucrarea ‘Integrale prime pentru ecuaţii diferenţile’ conţine două capitole principale şi o bibliografie. Primul capitol, initulat ‘Integrale prime în plan’ contine patru subcapitole : ‘Sisteme planare autonome. Soluţie. Integrale prime.’, ‘Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Soluţie. Integrale prime.’,’Ecuaţii diferenţiale în formă simetrică. Integrale prime.’, ‘Sisteme planare liniare autonome. Puncte singulare. Integrale prime.’. În acest capitol se studiază concepul de integrală primă, întâi pentru sisteme diferenţile planare autonome şi apoi pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi şi ecuaţii diferenţiale în formă simetrică. În cel de-al patrulea subcapitol se studiază formele pe care o integrală primă le poate lua in jurul unui punct singular al unui sistem diferenţial planar autonom.

Al doilea capitol al lucrării se numeşte ‘Teorema de integrabilitate locală pentru sisteme diferenţiale n-dimensionale’ şi conţine două subcapitole: ‘Notiuni generale ‘ şi ‘Integrale prime ale sistemelor diferenţiale autonome n-dimensionale’. În primul subcapitol se prezintă concepte şi rezultate auxiliare necesare pentru o mai bună înţelegere a noţiunilor prezentate în subcapitolul următor, în care se studiază notiunea de integrală primă pentru sisteme diferenţiale autonome n-dimensionale.

Pentru îndrumările şi sprijinul acordat în elaborarea acestei lucrări adresez mulţumiri şi datorez respect şi recunoştintă Lect. dr.++++++.

De asemenea se cuvine să adresez mulţumiri profesorilor, din cadrul Facultăţii de Matematică şi Informatică, care ne-au ‘ghidat’ cu competenţă şi rigoare profesională de-a lungul anilor de studiu. Lor li se cuvine preţuirea şi recunoştinţa mea.

Capitolul 1: Integrale prime în plan

1.1 Sisteme planare autonome. Soluţie. Integrale prime.

Considerăm sistemul autonom de ecuaţii diferenţiale

(1.1.1)

unde sunt două funcţii de clasă C1 pe o mulţime deschisă D a spaţiului , iar şi sunt derivatele funcţiilor x, în raport cu variabila t.

Definiţia 1.1.1 : Fie mulţimea deschisă , sunt două funcţii de clasă C1. O pereche de funcţii şi se numeşte soluţie a sistemului (1.1.1) dacă este un interval deschis, şi sunt continue şi derivabile pe şi

şi , .

Definiţia1.1.2: Funcţia scalară de clasă C1 într-o submulţime deschisă se numeşte integrală primă a sistemului (1.1.1) dacă nu este identic constantă şi constant pentru orice traiectorie (x, a sistemului (1.1.1) care rămâne in (constanta depinde de traiectorie).