Polinoame

INTRODUCERE

Studiul polinoamelor și ecuațiilor algebrice constituie o parte a matematicii foarte importantă datorită exercițiilor numeroase și variate. Calculul cu polinoame stă la baza multor procedee de rezolvare prezente în matematică.

Cuvăntul polinom provine din cuvântul grecesc poly care înseamnă multe și substantivul latin nomen ce semnifica nume. Această denumire este folosită pentru prima dată în secolul al VII- lea.

Preocuparea pentru polinoame și implicit pentru ecuațiile algebrice datează din cele mai vechi timpuri și este prezentă pe toate continentele. Mărturie stau lucrările din secolul al 9-lea, ale matematicianului persan Muhammad ibn Musa Khwārizmī care a prezentat în detaliu rezolvarea algebrică a ecuațiilor pătratice cu rădăcini pozitive și a fost primul care a predat algebra într-o formă elementară. O altă lucrare este Precious Mirror of the Four Elements scrisă de Chu Shih-chieh (1280-1303), în care se prezintă soluții ale unor ecuații algebrice de ordin superior, folosind o metoda similară metodei lui Horner.

Odată cu trecerea timpului, dorința omenirii de a dezlega misterele lumii înconjurătoare a crescut, astfel secolul al 19-lea reprezintă un secol important în dezvoltarea algebrei. Norvegianul Niels Henrik Abel a demonstrat că nu există o metodă generală algebrică pentru rezolvarea ecuațiilor polinomiale de grad mai mare decât patru. Francezul Evariste Galois a determinat condiția necesară și suficientă ca o astfel de ecuație sa poată fi rezolvabilă prin radicali.

Lucrarea este structurată pe trei capitole, ce pornesc de la prezentarea polinoamelor, traversează câteva noțiuni despre ecuații algebrice și se oprește la aplicații ce îmbină proprietățile divizibilității polinoamelor cu tipurile și numărul rădăcinilor unei ecuații algebrice.

În primul capitol se studiază probleme fundamentale referitoare la noțiunea de polinom: construcția inelului polinoamelor în nedeterminata X, proprietăți ale sale, operații cu polinoame, divizibilitatea polinoamelor.

Al doilea capitol prezintă rădăcinile polinoamelor, cu teoreme și aplicații în funcție de tipul acestora și numărul lor.

Partea aplicativă a lucrării este prezentă în capitolul trei, unde se pleacă de la câteva generalități teoretice ale ecuațiilor algebrice, se continuă cu prezentarea tipurilor de ecuații algebrice studiate la nivel liceal și se termină cu aplicații diverse întâlnite în exercițiile elevilor liceeni.

Fiecare noțiune teoretică este însoțită de exemple, prin care s-a dorit corelarea termenilor teoretici cu aplicații de sine stătătoare.

Inele de polinoame

Capitolul I

Inelul polinoamelor în nedeterminata X

Fie A un inel comutativ, cu element unitate 1∈A și N mulțimea numerelor naturale.

Notăm cu A’ mulțimea tuturor funcțiilor de la N la A, adică

A’={f│f∶N- A},

Un element f∈A^', fiind o funcție, se reprezintă cu ajutorul valorilor sale sub forma

f = (a0, a1, , ai, ) = (a_i )_(i∈N).

Dacă ,g∈A^' , f = (a_i )_(i∈N), , g = (b_i )_(i∈N), atunci f = g ⇔ a_i 〖= b〗_i, oricare ar fi i∈N .

Pe mulțimea A^' definim două legi de compoziție interne, adunarea și înmulțirea.

Adunarea și înmulțirea se definește în felul următor : dacă f,g∈A^', f = (a0, a1, , ai, ), g = (b0, b1, , bi, ) atunci f+g = (a0 +b0, a1 +b1, , ai, +bi ) și fg = (c0, c1, , ci, ), unde c_k= ∑_(i+j= k)▒〖a_i b_j 〗 , pentru toți k∈N.

Fie f,g,h∈A^', f = (a_i )_(i∈N), g = (b_i )_(i∈N), h = (c_i )_(i∈N). Atunci, pentru orice i∈N avem

a_(i )+ 〖 b〗_i=〖 b〗_i + a_(i )

și

〖(a〗_(i )+ 〖 b〗_i)+c_i=〖 a〗_i +(b_(i )+ c_i)

deoarece adunarea este comutativă și asociativă.

Rezultă că

f +g = g + f și (f + g) +h = f +(g +h),

adică adunarea în A^'este comutativă și asociativă.

Există în A^' element neutru față de adunare, care este funcția 0 : N⇢ A, 0(i) = o, pentru orice i∈N .

Pentru orice f∈A^', f = (a_i )_(i∈N), opusul său este - f = (-a_i )_(i∈N), - f∈A^' și f + ( - f) = ( - f) + f = 0.