Transformata integrală Fourier

INTRODUCERE

Notiunea de transformare integralÎ

Fie K(x, y) o functie continuÎ de douÎ variabile reale, K: I U fixatÎ, unde I este un interval pe dreapta reala si o multime deschisÎ, o astfel de functie este numitÎ ad – hoc nucleu. Oricarei functii reale f astfel încât ( ) y U, functia x f(x) • K(x,y) sa fie integrabila pe I, i se poate asocia functia reala g: U R, definita prin:(1)

se mai scrie si se spune ca g este transformata lui f prin nucleul K sau ca g este imaginea functiei f (numita functie original) prin transformarea integrala definita de K. Cele spuse mai sus se extind fara dificultate la cazul când functiile K, f au valori complexe.

Ideea considerarii unor transformari integrale de tipul f g este de a transfera o problema enuntata cu ajutorul functiilor original de tip f într-o problema enuntata în termeni de functii - imagine de tip g, care poate fi rezolvata mai simplu.

De exemplu, se va vedea ca transformarea integrala Laplace transforma rezolvarea unor clase de ecuatii diferentiale într-o problema pur algebrica. Fara a intra în detalii, mentionam ca formula (1) trebuie însotita de o formula corespunzatoare de inversare, adica de recuperare a functiei f de îndata ce se cunoaste g.

Studiul aprofundat al transformarilor integrale este realizat în cadrul unui capitol extrem de important numit calculul operational continuare fireasca a analizei matematice.

Calculul operational este constituit dintr-un numar de reguli si formule care permit rezolvarea unor probleme impuse unor ecuatii (diferentiale, integrale, cu diferente finite, cu derivate partiale etc.) cu ajutorul unor operatii matematice simple. În acest scop se folosesc anumite proprietati ale transformarii Fourier sau Laplace; astfel, conform unor proprietati, operatiei de derivare în multimea functiilor original îi corespunde operatia de înmultire cu p, operatiei de înmultire cu o exponentiala îi corespunde o translatie etc. Astfel, la operatii "mai complicate" dintr-un spatiu i se pun în corespondenta operatii "mai simple" dintr-un alt spatiu, convenabil atasat primului spatiu.

În linii mari, metodele calculului operational permit transformarea unei ecuatii (diferentiale, integrale, cu derivate partiale etc.) într-o ecuatie algebrica, prin aplicarea unei transformari date; apoi rezolvându-se ecuatia algebrica, prin aplicarea transformarii inverse primei transformari se obtine solutia dorita pentru ecuatia initiala.