Fițuici metode numerice

1.Matrici elementare.Inversare de matrici.Calculul determinantului unei matrici

Matrici elementare: Sunt matrici derivate dintr-o matricea unitate, după cum urmează:

Ei(c)→matricea unitate având linia i amplificată cu constanta c.Exemplu:

E3(c)=[1 0 0;0 1 0;0 0 c]

Ei,j→ matrice unitate având linia i interschimbată cu linia j.Exemplu: E13=[0 0 1;0 1 0;1 0 0]

Ei,j(c)→ matrice unitate având linia i înlocuită prin suma liniei i cu linia j amplificată cu constanta c.

Exemplu: E13(c)=[1 0 c;0 1 0;0 0 1]

Operaţii elementare cu linii şi coloane:

-Multiplicarea unei linii cu o constantă nenul c.

-Interschimbarea a două linii.

-Înlocuirea liniei i prin suma liniei i cu linia j

-amplificată cu constanta c.

Aceleaşi operaţii pot fi definite şi relativ la coloane.Efectuarea acestor operaţii asupra unei matrici pătrate oarecare A, poare fi realizată prin premultiplicarea (înmulţirea la stânga a matricii A) cu o matrice elementară.

DETERMINANTUL UNEI MATRICI

Fiecărei matrici pătrate A i se poate asocia o cantitate scalară (un număr real)

notat:

numit determinant. Definirea determinantului utilizează noţiunile de minor şi cofactor.Un minor de ordin n-1 este un determinant obţinut prin eliminarea unei linii şi a unei coloane din determinantul dat. Minorul corespunzător termenului ai,j se obţine eliminând linia i şi coloana j.Fiecărui element ai,j i se asociază un cofactor, , egal cu produsul dintre şi determinantul minorului corespunzător elementului ai,j. Valoarea determinantului unei matrici pătrate va fi:

sau

Proprietăţile determinanţilor:

-Dacă două linii sau două coloane ale unei matrici sunt identice, valoarea determinantului este zero;-Determinantul produsului de matrici este egal cu produsul determinanţilor ;-Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.;-Determinantul unei matrici diagonale este egal cu produsul elementelor diagonalei principale. ;-Dacă o linie i a matricei A este înlocuită cu linia (b1, b2, ... , bn) atunci, determinantul matricii care rezultă Ai, poate fi exprimat prin relaţia:

INVERSA UNEI MATRICI

Pentru fiecare matrice pătrată nesingulară (având determinantul nenul) există o matrice inversă, notată A-1 care satisface relaţia:

A• A-1 = A-1 • A = U

în care U reprezintă matricea unitate.

Expresia matricii inverse este dată de relaţia:

în care Adj (A) este matrice adjunctă a matricii A. Matricea adjunctă a unei matrici se defineşte ca fiind transpusa matricii cofactorilor matricii dateProprietăţi:

-Numai o matrice pătrată poate avea o inversă;

-Matricea inversă este o matrice pătrată;

-Inversa unei matrici simetrice este tot o matrice simetrică;-Inversa unei matrici diagonale este tot o matrice diagonală;

-Dacă determinantul unei matrici este nul această matrice nu admite o matrice inversă;

-Inversa produsului de matrici este egală cu produsul inverselor;

2.Metoda Hotteling de imbunatatire a aproximarii matricei inverse

Algoritmul se bazează pe efectuarea unei operaţii de împărţire prin operaţia de înmulţire. Vom exemplifica algoritmul pentru cazul numerelor reale:Presupunem că se cunoaşte o primă aproximare (1/a) a inversului numărului real a pe care o notăm d1. Condiţia de convergenţa a algoritmului este ca:

Algoritmul constă în determinarea unui şir de aproximări d2, d3, d4, … a inversului numărului a astfel încât erorile să tindă spre zero. Pentru a realiza condiţia cerută este necesar să se determine o relaţie de recurenţă astfel încât eroarea la un moment dat să poată fi exprimată sub forma unei puteri a lui e1.