Identificarea Sistemelor

1. deducerea functiei de transfer din raspunsul indicial prin metoda aproxim. succesive

c) Aproximarea curbelor experimentale prin expresii de forma

solutiilor unor ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

Daca dispunem de reprezentarea functiei indiciale experimentale y(t),

care nu are componente oscilatorii, atunci aproximarea analitica a acesteia se

poate face printr-o expresie de forma:

în care C0 este valoarea stabilizata a functiei indiciale, Ci sunt coeficienti reali,

iar i sunt exponenti reali pozitivi, ceea ce presupune ca functia de transfer are

poli simpli si negativi.Pentru ca ~ytsa fie determinata este necesar sa cunoastem Ci , i si n.

Metoda propusa [3] este grafoanalitica de aproximari succesive. Ea consta în

aproximarea curbei y(t) mai întâi prin solutia unei ecuatii de ordinul unu si, daca

aceasta nu este corespunzatoare, prin solutia unei ecuatii de ordinul doi s.a.m.d.

Metoda este justificata deoarece, în cazul radacinilor simple, reale si negative,

exista o radacina preponderenta, cea mai apropiata de origine, restul dând

componente care se amortizeaza rapid.

Pasul 1. Fie y(t) raspunsul indicial experimental pe care îl aproximam cu:

cunoscut

Eroarea de aproximare va fi t

iar

valorile optime ale coeficientilor se deduc din conditia 1(t)=0 ()t. Solutia

aproximativa a acestei probleme poate fi obtinuta pe cale grafica deoarece ecuatia:

conduce la sistemul:

Primul membru al ecuatiei a doua din sistem este de fapt o functie

cunoscuta de datele experimentale, iar membrul al doilea este o dreapta prin

trasarea careia rezulta valorile aproximative 1 Cˆ si 1 ˆ . Cu aceste valori eroarea

devine: . Daca aceasta eroare este suficient de mica în

tot domeniul [0,ts], atunci admitem prima aproximatie. În caz contrar recurgem

la o a doua aproximare.

Pasul 2. Consideram

urmând sa determinam

coeficientii C2 si 2 din conditia:

Procedând ca la pasul 1, rezulta sistemul:

de unde prin aproximare rezulta fiind cunoscut de la pasul anterior.

Eroarea rezultata va fi Procedeul poate fi continuat pâna

când Dezavantajul metodei este precizia scazuta datorita

aproximarii coeficientilor Ci si i la fiecare pas, dar oricum mai buna decât în

metodele precedente, deoarece aici numarul de puncte y(t) poate fi foarte mare,

deci informatia continuta în raspunsul indicial poate fi bine utilizata. Metoda are

si un avantaj substantial si anume acela ca permite determinarea usoara a unei

functii de transfer în forma factorizata.

Daca aproximarea de ordin n este:

corectitudinea determinarii constantelor poate fi verificata prin intermediul

relatiilor relative la conditiile initiale. Daca:

sunt verificate (evident cu aceeasi precizie cu care am obtinut ˆ (t) 0 n ), ceea ce

înseamna ca sistemul, plecând din conditii initiale nule, nu prezinta zerouri,

functia de transfer corespunzatoare va fi:

Daca relatiile precedente sunt satisfacute pâna la derivata de ordin q,

atunci functia de transfer prezinta zerouri fiind de forma:

De fapt functia de transfer poate fi determinata din relatia W(s) sL[yˆ (t)] n .

Metoda poate fi extinsa si la cazul în care raspunsul indicial contine componente

oscilatorii [3].