Matematică financiară

CURS1

MATEMATICA FINANCIARA se ocupa cu operatii de fructificare sau de capitalizare si cu operatii de actualizare sau de evaluare.Cele doua operatii sunt una inversa celeilalte.

OPERATIA DE FRUCTIFICARE

Împrumutul: La momentul X P1 împrumuta de la P2 suma de bani C, urmând ca apoi sa-i inapoieze lui P2 la momentul Y o suma de bani M.

X<=y; C<=M; C,M>=0

y-> scadenta operatiei financiare

x->mom initial al op financiare

t=y-x >=0

t=durata operatiunii

C=cap.investit la momentul initial

M=suma ce se restituie dupa per de timp t, s.n val finala a op.

C< =M -> se fructifica

M=C+D<- pt.op de capitalizare

D-> dobanda la capitalizare

În op de fructificare cunoscând val initiala investita se poate determina val finala a op prin adaugarea unei sume de bani numita dobanda.

it=dob.obtinuta pt.fiecare unitate de capital investit

it=D/C

ut=factorul de fructificare sau de capitalizare

ut=M/C

ut=M/C=(C+D)/C=1+D/C=1+it

OPERATIA DE ACTUALIZARE

C=M-D unde D=scont

In operatia de actualizare val.initiala a operatiei se obtine scazand scontul “D” din val.finala a operatiei.

dt=scontul obt.pt.fiecare unitate de capital avut la scadenta

dt =D/M

vt=cap.initial obt.din fiecare unitate de cap.avut la scadenta

vt=C/M vt=C/M=(M-D)/M=1-(D/C)=1-dt=1

vt=1/ut=1/(1+it)

dt=it/(1+it)

MODELUL GENERAL AL OP DE CAPITALIZARE

A1: M=S(c,t) (val.finala depinde de capitalul investit si de per de

investitie)

A2: S(C1+C2,t)=S(C1,t)+S(C2,t)

A3: t1<t2 =>S(C,t1)<= S(C,t2)=> S(C,t) f nedescrescatoare in t.

A4:S(C,0)=C; 0->per de timp 0, adica azi il investesc si azi il primesc

P1: Val finala pt un capital de tip C este mai mare decat capitalul investit. S(C,t)>=S(C,0);S(C,t)>=0

P2:S(C,t) strict crescatoare in primul argument

C1>C2 =>S(C1,t)>S(C2,t); t>0

S(C1,t)=S(C1+ C2- C2,t)= S(C2,t)+ S(C1-C2,t)>=S(C2,t)+(C1-C2)> S(C2,t) pt ca C1= S(C,t)>=0

T.H. Daca S(C,t) verifica cele 4 axiome atunci exista o functie :

f:[0,µ)->R cu prop:

1) f(t) nedescrescatoare

2) F(0)=1

a.i. S(C,t)=C*f(t)

S(C,t)=C+D(C,t)

D(C,t)=C[ -1+f(t)]

Daca c=1u.m.=> S(1,t)=f(t)

ut=M/C =S(1,t)/1=f(t)

S(C,t)=C*ut

D(1,t)=f(t)-1

it=D/C=(f(t)-1)/1=ut-1

Daca t=1an=> ut,it=u,i

ut=f(t)=>u=f(1)

it=f(t)-1=>ut-1=f(1)-1

i-taxa unitara de dob sau rata unitara de dob coresp anului sau taxa/rata anuala de dob.

S(C,t)=C*f(t)=C*ut (in op de capt)

{f(t,i)}iµI –regim de capit sau lege de capit pt i fixat

REGIM DE dob/cap. SIMPLA

Daca factorul de fructif variaza pe un interval de timp infinit-estimat proportional cu lungi intervalului, cu un factor de multiplicitate a(t)=-i, t>=0 => f(t)=1+it t>=0