Subiecte examen final Fizică I

Analiz

ă dimensională

Orice mărime fizică are o dimensiune care se exprimă cu ajutorul mărimilor

fundamentale care apar în expresia acesteia. Mărimilor fundamentale li se ataşează

simboluri convenabil alese, cele mai uzitate fiind: [L], pentru lungime, , pentru

masă, , pentru timp, [ , pentru temperatură,

[M]

[T] θ] [I], pentru curentul electric, etc.

Pornind de la ecuaţia de definiţie, formula dimensională a oricărei mărimi

fizice se obţine prin înlocuirea mărimilor fundamentale care apar în expresia ei cu

simbolurile lor.

Ca exemplu, ecuaţia dimensională a unei mărimi mecanice A se va scrie:

[A] = [L]α [M]β [T]γ ,

unde α,β, γ sunt puterile la care apar mărimile fundamentale în expresia mărimii A.

Mărimile care se exprimă printr-un număr nu au dimensiune, adică sunt

adimensionale, şi ca atare acestea nu apar în nici o ecuaţie dimensională.

Dacă pentru mărimile fundamentale se alege un sistem de unităţi de măsură,

atunci, din ecuaţia dimensională a unei mărimi, obţinem unitatea acesteia în sistemul

de unităţi considerat. Ca exemplu, dacă mărimea A este o forţă atunci unitatea

acesteia în SI este newtonul dat de:

1N = 1kg ⋅m⋅ s−2 .

Ecuaţiile fizicii reprezintă o egalitate între cei doi membri ai ecuaţiei, care

trebuie să aibă aceeaşi dimensiune exprimată cu ajutorul mărimilor fundamentale.

Altfel spus, mărimile fundamentale trebuie să apară la aceleaşi puteri în ambii

membrii ai ecuaţiei, această afirmaţie constituind aşa numitul principiu al

omogenităţii.

În mecanică aceasta înseamnă că într-o ecuaţie dimensională, scrisă sub forma:

[L]α [M]β [T]γ = [L]ξ ⋅ [M]η ⋅ [T]δ ,

trebuie ca:

α = ξ , β = η , γ = δ ,

adică termenii ecuaţiei trebuie să fie omogeni din punct de vedere dimensional.

Astfel, pe baza principiului omogenităţii se poate verifica valabilitatea tuturor

ecuaţiilor obţinute prin calcul sau se pot stabili ecuaţii noi care să descrie un proces

fizic studiat experimental atunci când se constată că o mărime anume depinde de alte

mărimi dar nu se cunoaşte care este forma matematică explicită a acestei

dependenţe.

În final, trebuie menţionat că functiile matematice care pot fi dezvoltate ca

serii de puteri, precum , etc., unde x este o

funcţie de una sau mai multe mărimi, trebuie să aibă argumentul adimensional.

Aceasta deoarece termenii de puteri diferite ai dezvoltării în serie trebuie să aibă o

aceeaşi dimensiune, altfel ne putând să fie satisfăcut criteriul de omogenitate al

ecuaţiilor fizicii.

sin x, cos x, tgx, ctgx, sinh x, cosh x, ex

Elemente de analiza dimensionala si vectoriala, calcul diferential si integral

1.5. Mărimi şi unităţi fundamentale în Sistemul International.

Elemente de analiză dimensională.

Reamintim că unitatea de măsură reprezintă elementul etalon pentru o

mărime fizică dată.

Unitatea de măsură a oricărei mărimi fizice ar putea fi aleasă arbitrar

dacă între mărimea respectivă şi alte mărimi specifice domeniului de studiu nu ar

exista relaţii de dependenţă.

Tinând cont de această observaţie, s-a dovedit utilă alegerea unor unităţi

de măsură fundamentale numai pentru câteva mărimi diferite şi absolut

independente între ele. Pentru celelalte mărimi fizice unităţile de măsură rezultă

din relaţiile de legătură dintre mărimea respectivă şi mărimile fundamentale.

Prin urmare unităţile de măsură pot fi fundamentale şi derivate.

Funcţie de natura şi mărimea unităţilor fundamentale au fost alcătuite, dea

lungul timpului, diferite sisteme de unităţi, recunoscute pe o arie de răspândire

mai restrânsă sau - dimpotrivă - mai largă (la noi în ţară, spre exemplu , unităţi

particulare au fost : cotul, ocaua, baniţa, etc.).

In anul 1960 s-a definit pe plan mondial Sistemul Internaţional de Unităţi

(S.I.) (vezi Tabelul 1).

Dacă A este mărimea fizică, atunci cu notaţia [A] este indicată

dimensiunea mărimii fizice A iar cu notaţia <A> se specifică unitatea de

măsură corespunzatoare.

Observaţie. In timp ce unitatea de măsură reflectă aspecte cantitative în

ceea ce priveşte rezultatul măsurării unei mărimi fizice date, aspectul calitativ al

respectivei mărimi este reflectat de dimensiunea acesteia.

Tabelul 1.1

Mărime fizică

fundamentală

Dimensiune a mărimii fizice Unitate de măsură a

mărimii fizice în S.I.

Lungime [Lungime] = L <L>S.I. = m (metru)

Timp [Timp] = T <T>S.I. = s (secunda)

Masa [Masa] = M <M>S.I.= Kg (kilogram)

Temperatura [Temperatura] = θ <θ>S.I. = K (Kelvin)

Intensitate curent

electric

[Intensitate curent electric]

= I

<I>S.I. = A (amper)

Intensitate

luminoasă

[Intensitate luminoasă] =I <I>S.I. = cd (candela)

Se mai folosesc şi următoarele unităţi suplimentare, impuse - mai mult -

de către matematică : radianul (rad) ca unitate de unghi plan şi steradianul (sr) ca

unitate de unghi solid.6

Condiţia de omogenitate permite precizarea dependenţei între diferite

mărimi fizice. Acest tip de abordare (de deducere) a unor relaţii poartă numele de

analiză dimensională.

Exemplu de analiză dimensională : Se ştie (se afirmă) că o oarecare

mărime fizică A depinde (în urma unor constatări experimentale) de alte