Filtre cu logică Fuzzy

Conceptele de bază ale logicii fuzzy

Logica clasică sau booleană este construită pe două valori de adevăr: “adevărat” sau “fals" (TRUE sau FALSE, 1 sau 0): un obiect este fie “alb” fie “negru”, fie “mare” fie “mic”, neexistând o situaţie intermediară. Logica fuzzy, formulată de către Zadeh în 1965, oferă o modalitate matematică de a cuantifica incertitudinea unei exprimări vagi sau incomplete folosite pentru transmiterea unei anumite informatţii: “e cam mare”, “e aproape negru", “e 75% adevărat”.

Logica fuzzy poate fi folosită atunci când nu există o delimitare clară între mulţimile ce reprezintă valorile unei mărimi sau proprietăţi, sau evenimentele sau stările posibile ale unei variabile aleatoare.

1. Mulţimile fuzzy

Conceptul de mulţime fuzzy, introdus de către Zadeh, a apărut ca o urmare firească a imposibilităţii de a modela un sistem indefinit (engl. ill-defined) cu ajutorul unor instrumente matematice precise, cum ar fi cele ale teoriei probabilistice.

Fie X o colecţie de obiecte. Mulţimea fuzzy A definită pe mulţimea X este o mulţime de perechi ordonate:

unde reprezintă funcţia caracteristică sau funcţia de apartenenţă a lui la mulţimea . Semnul “/” este folosit doar pentru a delimita valoarea reală de valoarea funcţiei de apartenenţă .

Funţia de apartenenţă se defineşte pe intervalul de valori posibile ale lui cu valori reale, în intervalul .

Dacă conţine doar 0 şi 1, atunci nu mai este o mulţime fuzzy, ci una caracteristică logicii clasice. Dacă funcţia de apartenenţă este discretă, atunci mulţimea se scrie ca:

Dacă funcţia de apartenenţă este o funcţie continuă, atunci mulţimea fuzzy se scrie ca:

unde prin integrare se înţelege totalitatea punctelor .

2. Proprietăţile mulţimilor fuzzy

• Normalitatea. O mulţime fuzzy este normală dacă valoarea maximă a funcţiei sale de apartenenţă este 1:

unde reprezină supremul sau maximul lui . În caz contrar, mulţimea se zice că este subnormală. Figura 1 prezină două astfel de mulţimi fuzzy.

Figura 1. O mulţime fuzzy (a) normală şi (b) subnormală.

• Convexitatea. O mulţime fuzzy este convexă dacă şi numai dacă

mulţimile definite ca:

sunt convexe pentru orice . În figura 2 sunt exemplificate două astfel de mulţimi. Mulţimea conţine valorile pentru care funcţia de apartenenţă este egală sau mai mare decât pragul .