Identificarea sistemelor - metoda celor mai mici pătrate

Prezentarea metodei

În cadrul metodei celor mai mici pătrate (CMMP) sistemul se consideră descris de următoarea ecuaţie cu diferenţe:

(S) A(q )y(t) B(q )u(t) e(t) (7.1)

unde:

u(t) - mărimea de intrare;

y(t) - mărimea de ieşire;

e(t) - zgomotul alb de medie zero şi dispersie 2;

q - operator de întârziere.

Modelul se consideră descris de o ecuaţie cu diferenţe, care are aceeaşi structură cu ecuaţia (7.1).

(M) (q )y(t) (q )u(t) (t) (7.2)

unde:

u(t) - mărimea de intrare;

y(t) - mărimea de ieşire;

e(t) - reziduul modelului;

q - operator de întârziere;

(7.4)

Se fac următoarele notaţii:

Cu aceste notaţii mărimea de ieşire dată de model este:

Având disponibilă structura modelului (na, nb) se impune condiţia ca media

pătratică a erorii de predicţie să fie minimă. Estimaţia celor mai mici pătrate a lui , bazată pe n date este prin definiţie

unde

Din condiţia (7.8) rezultă

În lucrarea [22] sunt enunţate câteva rezultate referitoare la existenţa inversei matricei

şi a consistenţei estimatorului (7.10). Problema consistenţei estimatorului (7.10) şi a

existenţei inversei matricei (7.11) este strâns corelată cu persistenţa semnalului de intrare u .

Dacă se notează

-parametrii procesului,iar cu (7.12)

- vectorul care conţine (7.13)

istoria procesului (intrările şi ieşirile anterioare), atunci ecuaţia (7.1) devine

Modelul va fi descris printr-o ecuaţie de aceeaşi formă

unde

-parametrii neestimati,iar

Estimarea parametrilor modelului presupune în primul rând stabilirea gradelor

şi apoi determinarea vectorului pe baza datelor de intrare şi ieşire.

De fapt, esenţa metodei constă în a presupune faptul că modelul este determinist

Situatie in care se calculează impunându-se următoarea condiţie

Expresia explicită a lui se obţine din condiţia de anulare a gradientului funcţiei

criteriu