Modelarea Cozilor de Așteptare

Procese Poisson

Baza teoretică a modelării cozilor de aşteptare o constituie o clasă particulară de procese stochastice, procesele Poisson. In continuare se vor prezenta proprietăţile lor esenţiale. Se consideră de asemenea eveniment care se produce prima dată la t = 0 şi apoi se repeta la momente aleatoare de timp Tn. Se consideră dintre 2 evenimente consecutive S„ = Tn – Tn-1 sunt variabile aleatoare independente, identic distribuite, având funcţia de repartiţie F(x). In cazul proceselor Poisson, aceasta este dată de distribuţia exponenţială.

, x 0;

Printre principalele proprietăţi ale acesteia se pot aminti:

1) densitatea de repartiţie:

2) speranţa (media statistică):

E{S}= ;

3) variaţia (dispersia):

4) lipsa de memorie: durata de timp până la producerea următorului eveniment; independentă de momentul observaţiei, şi deci de timpul scurs de la producerea ultimul eveniment. Ca o consecinţă se poate observa că:

• probabilitatea producerii unui eveniment în intervalul (t, t + h) este h;

• probabilitatea producerii a mai multor evenimente în acelaşi interval de timp estimativa

Valoarea A se numeşte rata procesului Poisson şi reprezintă numărul mediu de evenimente produse în unitatea de timp (sau probabilitatea producerii unui eveniment intervatul (t, t + 1)), iar l/ este durata medie dintre 2 evenimente;

5) reuniunea: dacă I este reuniunea unui număr finit de intervale de timp disjuncte de lungimi t1, t2, ..., tn, iar K este numărul de evenimente produse in intervalul I, generate de un proces Poisson cu rata A, atunci are o distribuţie exponenţială cu parametrul (t1 + t2 + ... + tn);

6) superpoziţia: dacă Aa, A2,..., An sunt procese Poisson având ratele 1, 2, ..., n, atunci superpoziţia lor este de asemenea un proces Poisson având rata 1 + 2 + ... + n;

7) recompoziţia: dacă A este un proces Poisson de rată care este descompus în procesele B1, B2, ..., Bn prin atribuirea fiecărui eveniment din A lui B, cu probabilitatea qi, atunci Bi sunt de asemenea procese Poisson independente, având ratele qi .

8) momentul producerii evenimentului Tn este o variabilă aleatoare având distribuţie Eriang:

;

9) numărul de evenimente Kt produse în intervalul de timp (0, t] este variabila aleatoare discretă având distribuţie Poisson:

pk=P(Kt=k)=

Lanţuri Markov

1. Consideraţii teoretice

Acestea sunt procese stochastice caracterizate prin următoarea proprietate foarte generală. Dacă starea procesului la un moment dat este cunoscută, atunci evoluţia lui ulterioară este independentă de stările anterioare. În continuare se vor considera numai procesele cu stări discrete S = {0, 1, ...}. Dacă şi variabila timp este discretizată (procesul este observat la momentele 0, 1, ...), atunci se numeşte lanţ Markov.

Considerând stările i şi j, probabilitatea de tranziţie qi,j reprezintă probabilitatea tre¬cerii din starea i în starea j. Dacă aceste probabilităţi nu depind de momentul observaţiei atunci lanţul se numeşte omogen. Un lanţ Markov poate fi deci caracterizat prin matricea:

Q =

cu proprietatea evidentă că suma pe fiecare linie este 1.

Grafic, un lanţ Markov poate fi reprezentat printr-un graf orientat, ale cărui noduri reprezintă mulţimea stărilor iar arcele sunt ponderate cu probabilităţile: de tranziţie nenule. Dacă, fiind în starea i, lanţul poate ajunge în starea j, aceasta se numeşte accesibilă.

Dacă toate stările sunt accesibile (oricare stare este accesibilă din oricare altă stare) lanţul este ireductibil, in termenii reprezentării grafice aceasta revine la condiţia ca graful asociat să fie conex. .

O stare este recurentă dacă, o dată ce a fost atinsă (vizitată), ea va fi atinsă din nou. Dacă intervalul de timp dintre 2 "vizite" succesive este finit, atunci starea este recurent nenulă; în caz contrar (interval infinit între 2 vizite) starea este recurent nulă. Proprietăţile introduse pentru o stare pot fi extrapolate pentru întreg lanţul întrucât dacă o stare are (sau nu) o anumită proprietate, atunci toate stările vor avea (sau nu vor avea) roprietatea respectivă.