Pendulul Inversat

a) Ipoteze de modelare:

i) Pendulul inversat este montat pe un carucior actionat de un motor de curent continuu.

ii) Masa pendulului este concentrata la capatul bastonului.

iii) Bastonul nu are masa.

iiii) Forta u de reglare/control este aplicata caruciorului de masa M (bastonul are lungimea l).

Definim unghiul bastonului cu verticala θ care se presupune mic deoarece vrem sa mentinem pendulul in pozitie verticala.

Definim coordonatele (x,y) ale centrului de greutate ,respectiv (xG,yG) iar in acest caz avem :

(1)

Aplicand legea a-II-a a lui Newton in directia x a miscarii rezulta urmatoarea ecuatie de miscare :

(2)

sau

Ecuatia (3) se rescrie:

(4)

Ecuatia miscarii masei m in directia y (are loc pe un cerc) nu poate fi scrisa fara a considera miscarea masei m in directia x ,din acest motiv in loc de a considera miscarea masei m in directia y, putem si vom considera miscarea de rotatie a masei m in jurul punctului P.

Aplicand legea a II-a a lui Newton la miscarea de rotatie vom obtine :

sau

Relatie care poate fi simplificata dupa cum urmeaza :

dupa simplificari avem :

(5)

Ecuatiile (4) si (5) sunt ecuatii diferentiale neliniare. Deoarece trebuie sa pastram pendulul vertical se presupune ca variatia in timp a unghiului θ : si sunt cantitati mici astfel incat se poate spune ca :

Ecuatiile (4) si (5)se pot liniariza astfel :

(6) si (7)

Aceste ecuatii sunt valabile atat timp cat si sunt mici.

Ecuatiile (6) si (7) definesc un model matematic al pendulului inversat si pentru a obtine o reprezentare in spatiul starilor pot fi modificate astfel:

(8)

si

(9)

Ecuatia (8) s-a obtinut prin eliminarea lui din (6) si (7), iar ecuatia (9) s-a obtinut prin eliminarea lui din (6) si (7).

Definim variabilele de stare x1 , x2, x3, x4 astfel :

(10)

Consideram ca θ si x reprezinta iesirile sistemului(cantitati usor masurabile).

(11)

Utilizand forma matriciala vectoriala standard obtinem :

(12)

(13)

Se utilizeaza metoda plasarii polilor si zerourilor pentru a stabiliza sistemul si pentru a avea caracteristicile dinamice .Se vor substitui valorile numerice date pentru M, m si l in ecuatiile (12) si (13).

Preliminarii

M

Masa caruciorului 2 kg

m Masa pendulului 0.1kg

l Lungimea pana la centrul de greutate al pendulului 0.5 m

u Forta aplicata caruciorului

x Coordonata pozitiei caruciorului

theta ( )

Unghiul facut de pendul cu verticala

20.601

0.4905