Sisteme de Ecuații Neliniare

I.Sisteme de ecuaţii neliniare pe

Fie D , f :D , i=1, ,n şi sistemul (I.1) f (x , ,x )=0, i=1, ,n; (x , ,x ) Dacă se consideră aplicaţia f:D , astfel ca (x , ,x ) sistemul (I.1) poate fi scris sub forma ecuaţiei vectoriale (I.2) f(x)=0, x unde = este elementul nul al spaţiului

Vom considera n sisteme de n ecuaţii cu n necunoscute, de forma

(1.1)

unde Fi reprezintă funcţii cunoscute de n variabile , presupuse continue, împreuna cu derivatele lor parţiale pană la un ordin convenabil (de obicei, pană la ordinul doi) pentru ca anumite relaţii de calcul sa fie valabile. Se va urmări găsirea soluţiilor reale ale sistemului (1.1) într-un anumit domeniu de interes, domeniu în care se consideră valabile¸ si proprietatile de continuitate impuse funcţiilor Fi¸ şi derivatelor lor. Sistemul (1.1) se scrie vectorial

(1.2)

unde si

Notaţia mai apropiata de scrierea iniţiala ar fi fost , dar s-a renunţat la indicarea transpunerii, fapt neesenţial de altfel. Cu notaţia (1.2), soluţiile reale se cauta pe un domeniu

, iar

Metodele de rezolvare pot fi sugerate de metodele utilizate la rezolvarea ecuaţiilor intr-o singura variabilă Analogia dintre sistemul (1.2)¸ şi ecuaţia într-o singură variabilă, desi formala, este utila. Rezolvarea unui sistem de n ecuaţii neliniare cu n necunoscute este mult mai dificila în cazul general decât pentru , din mai doua motive. În primul rând, pentru nu mai este posibilă localizarea soluţiei. Nu mai dispunem de o metodă analoagă metodei înjumătăţirii intervalelor pentru separarea unui interval în care se găseşte sigur o soluţie, ca în cazul unei singure variabile. De fapt, mulţimea vectorilor x nu poate fi ordonată, începând cu Localizarea soluţiei reprezintă un avantaj covârsitor al cazului unidimensional, pentru ca o soluţie localizată nu mai poate fi scăpată. Din această cauza, ori de cate ori este posibil, se recomandă retranscrierea sistemului astfel încât rezolvarea acestuia să se reducă la rezolvarea unei probleme unidimensionale. În cazul n−dimensional, nu se poate şti niciodată cu certitudine ca soluţia se afla într-o anumită zonă până când soluţia nu este calculată. În al doilea rând, un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute poate avea una, niciuna sau mai multe soluţii reale. În cazul în care sistemul are mai multe soluţii, trebuie gasită acea soluţie care are semnificaţie fizică (in general rezolvăm numeric ecuaţii pentru ca acestea fac parte dintr-un model matematic care corespunde, în limita unor ipoteze, unui fenomen fizic, economic, etc.). Rezolvarea unor sisteme de ecuaţii neliniare implică utilizarea unui algoritm iterativ: pornind de la o aproximatie initială, algoritmul o va îmbunatătii de la o iteraţie la alta pană când va fi indeplinită o condiţie de convergenţă. Convergenţa algoritmului, în special pentru problemele multi-dimensionale, poate depinde în mod esenţial de cat buna este valoarea iniţială. Aceasta valoare trebuie obţinută, ori de cate ori este posibil, pe baza unui studiu analitic.

I.1. Metoda aproximaţiilor succesive.

Fie mai întâi, sistemul (I.1.) scris sub forma (I.3.) x i=1, ,n; (x ) , unde : D R sunt funcţii continue pe D şi astfel încât pentru orice punct (x , ,x ) să avem ( ) , sau sub forma vectorială (I.4.) x= x D, unde x=(x ) şi

În conformitate cu metoda aproximaţiilor succesive, placând de la o valoare de pornire x , se generează şirul (I.5) , unde x , m=0,1,

Dacă şirul (I.5.) este convergent, adică metoda este convergentă şi este limita lui, atunci este soluţie a ecuaţiei (I.4.). Într-adevăr, trecând la limită în (I.6.) şi având în vedere continuitatea funcţiei , se obţine adică

Rămâne de studiat problema convergenţei metodei În acest scop poate fi folosită teorema Picard-Banach şi anume: dacă verifică condiţia de contracţie x,y cu 0< <1, atunci există un element unic soluţie a ecuaţiei (I.4.) şi care este limita şirului (I.5.), eroarea comisă în aproximarea fiind evaluată prin

Observaţie: După cum s-a văzut şi în cazul ecuaţiilor în R, o condiţie suficientă pentru ca o aplicaţie continuă şi cu derivatele parţiale de ordinul întâi continue pe un domeniu să fie contracţie este ca pe D, unde prin norma lui se înţelege norma matricei jacobian , i,j=1, ,n.

De exemplu,

Observaţie: Dacă aplicaţia este definită pe o parte a lui , de exemplu pe sfera , atunci pentru convergenţa procesului iterativ corespunzător trebuie să fie indeplinită şi condiţia suplimentară , condiţie care asigură ca dacă

Metoda aproximaţiilor succesive poate fi aplicată şi în cazul ecuaţiilor de forma (I.2.), unde f este o funcţie definită şi continuă într-o vecinătate a vectorului soluţie

Într-adevăr, ecuaţia (I.2.) poate fi scrisă sub forma x=x+Mf(x), unde M este o matrice nesingulară.

Notând (I.7.) , ecuaţia (I.2) devine , formă sub care poate fi aplicată metoda aproximaţiilor succesive.

Urmează să determinăm matricea M astfel încât metoda să conveargă. În acest scop folosim condiţia şi observaţia evidentă că procesul iterativ converge cu atât mai rapid cu cât este mai mică.