Curgerea cu Nivel Liber cu Suspensii Solide

1. CONSIDERENTE TEORETICE

1.1 Teoremele analizei dimensionale

1.1.1 Prima teoremă a analizei dimensionale

A reduce o relaţie fizică (între mărimi fizice) la o relaţie matematică însemnă a o folosi ca o relaţie între numere abstracte. Condiţia în care o relaţie fizică se reduce la o relaţie între numere este precizată de prima teoremă a analizei dimensionale, numită şi teorema omogenităţii: o relaţie fizică poate fi reductibilă la o relaţie între numere, dacă ea este omogenă din punct de vedere dimensional în raport cu un sistem coerent de unităţi de măsură.

Reamintind structura sistemelor coerente, condiţia exprimată de teorema omogenităţii înseamnă, de fapt, că într-o relaţie toţi termenii trebuie să aibă aceeaşi formulă dimensională într-un anumit sistem dimensional. În acest mod, termenii relaţiei se exprimă cu aceeaşi unitate de măsură cu care, formal, se poate simplifica, relaţia devenind abstractă. După efectuarea calculului matematic, rezultatul este din nou corelat, în majoritatea cazurilor, cu semnificaţia sa fizică reală, reatribuind mărimilor fizice unităţile de măsură.

1.1.2 A doua teoremă a analizei dimensionale

O relaţie fizică, omogenă în raport cu un anumit sistem coerent de unităţi de măsură, nu îşi modifică forma la schimarea sistemului de unităţi de măsură, dacă şi numai dacă dimensiunile mărimilor derivate se exprimă în ambele sisteme sub formă de produse de puteri.

Conform acestei teoreme, formula dimensională a unei mărimi derivate xi se exprimă univoc în funcţie de dimensiunile fundamentale A1,…,Ak:

Mărimea derivată xi se scrie deci:

1.1.3 A treia teoremă a analizei dimensionale

O mărime adimensională (fără dimensiuni) este definită ca o mărime a cărei formulă dimensională este egală cu unitatea, adică:

Condiţia este îndeplinită de rapoarte dintre produse alcătuite din mărimi la diferite puteri şi definite, în practică, în legătură cu un acelaşi fenomen fizic:

sau, sub formă matematică echivalentă,

astfel încât marimea π să fie adimensională, [π]=1.

Prima relaţie este convenabilă interpretării fizice, în timp ce cea de-a doua justifică alegerea literei π – notaţie consacrată în matematică pentru produs.

Toate mărimile definite în acest mod se numesc complexe adimensionale, iar litera π este de regulă însoţită de un indice care precizează o mărime caracteristică.

Complexele adimensionale importante, cu rol deosebit, se numesc criterii şi primesc denumiri şi notaţii speciale.Complexele adimensionale pot fi privite şi ca numere, deoarece ele rezultă din raportul a două mărimi (sau produse de mărimi) cu aceleaşi dimensiuni. Fiind formate într-un mod legat concret de fenomenul studiat, complexele adimensionale π au caracterul unor numere specifice sau numere intrinseci ale fenomenului fizic pentru care sunt definite.

Interpretarea fizică pe care aceste complexe adimensionale o pot primi este diferită, ele fiind privite în general ca rapoarte între diferite categorii de energii, forţe sau mărimi cinematice importante pentru fenomen.

A treia teoremă a analizei dimensionale, teorema π sau teorema produselor sau teorema Vaschy-Buckingham se enunţă astfel: o relaţie fizică

care reflectă un fenomen concret dat, scrisă cu respectarea primelor doua teoreme ale analizei dimensionale şi cuprinzând n mărimi exprimate într-un sistem standard (coerent) de unităţi de măsură, poate fi scrisă ca o relaţie între n-k complexe adimensionale, dacă se renunţă la sistemul standard şi se adoptă un sistem de unitaţi de măsură propriu fenomenului studiat, sistem format din k mărimi alese dintre cele n mărimi care participă la fenomen.

Numărul k este rangul matricei dimensionale a mărimilor x1,…,xn. Considerăm că relaţia de mai sus este o relaţie completă, adică x1,…,xn reprezintă toate mărimile fizice, variabile sau constante, care determină fenomenul. Alegând un anumit sistem dimensional, de exemplu LMT, pentru fiecare dintre mărimile x1,…,xn se pot scrie formule dimensionale, adică:

Matricea din tabelul de mai jos:

se numeşte matricea dimensională M a mărimilor x1,…,xn, în sistemul de mărimi fundamentale ales.

Se poate demonstra că pentru k<n se obţine o soluţie în care cele n-k complexe adimensionaleformate sunt independente între ele (nu se pot deduce unele din altele prin înmulţiri sau împărţiri).