Metoda elementului finit în construcții navale

Capitolul I

Etapele analizei prin metoda elementului finit. Generalități

Metoda elementului finit a fost iniţial utilizată în construcţia avioanelor, structurile fiind idealizate prin modele simple de reţele de bare, această metodă s-a impus ca o metodă numerică generală de rezolvare a problemelor inginereşti din diverse domenii, inclusiv cel naval.

Această metodă, este o metodă numerică matriceală de analiză a structurilor medii continue. Orice problemă structurală are două metode în formulare matriceală complementare posibile:

- metoda deplasărilor (sau metoda rigidităţii)

- metoda eforturilor (sau metoda flexibilităţii)

Metoda deplasărilor este formularea standard matriceală a unei probleme cu elemente finite. O analiză tipică a unei structuri prin metoda elementului finit conţine următoarele etape:

1. Discretizarea structurii continue în elemente finite. Această etapă reprezintă preprocesarea structurii reale şi obţinerea modelului cu elemente finite echivalente.

2. Formularea proprietăţilor pentru fiecare element finit. Pe baza informaţiilor de la structura reală, se determină proprietăţile geometrice şi proprietăţile de material. Se calculează matricele de rigiditate ale elementelor finite (legea elementului finit).

3. Asamblarea elementelor în vederea obţinerii modelului cu elemente finite global echivalent al structurii reale (legea structurii globale).

4. Aplicarea încărcărilor externe reduse la noduri, pe modelul cu elemente finite echivalente constând în forţe şi momente.

5. Precizarea condiţiilor de margine. Această etapă presupune impunerea unor deplasări date într-o serie de noduri ale modelului cu elemente finite (FEM). Corespunzător gradelor de libertate blocate deplasările sunt nule.

6. Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebric liniar rezultat pe baza ecuaţiilor de echilibru structural pe modelul cu elemente finite echivalent şi determinarea deplasărilor nodale.

7. Calculul câmpului deformaţiilor specifice şi a câmpului de tensiuni pe elemente, folosind valorile deplasărilor nodale ale modelului cu elemente finite.

Capitolul II

Pentru determinarea analitică a distribuţiei tensiunilor şi deformaţiilor statice sau dinamice într-o structură generate de încărcări exterioare sau variaţii de temperatură, trebuie să obţinem o soluţie a ecuaţiilor teoriei elasticităţii cu satisfacerea condiţiilor de margine impuse structurii. În mod similar, în analiza structurală prin metoda elementului finit se impune utilizarea ecuaţiilor teoriei elasticităţii, ecuațiile de bază în cazul analizei tridimensionale sunt:

- ecuațiile Cauchy, deformații specifice – deplasări

- ecuațiile Hooke, tensiuni – deformații specifice

- ecuațiile de echilibru

Se observă, că există 15 ecuații disponibile pentru a determina 15 necunoscute, 3 deplasări, 6 tensiuni și 6 deformații specifice.

Suplimentar se adaugă ecuațiile de continuitate ale deformațiilor specifice și deplasări, și ecuațiile ce modelează condițiile de margine în forțe și, sau deplasări.

Ecuațiile Cauchy, deformații specifice-deplasări, cazul 3D

În ipoteza deformațiilor mici, relațiile dintre deformațiile specifice și deplasări sunt liniare, respectiv ecuațiile Cauchy sunt:

e_xx=∂u/∂x; e_yy=∂v/∂y; e_zz=∂w/∂z; e_xy=e_yx=∂v/∂x+∂u/∂y; e_yz=e_zy=∂w/∂y+∂v/∂z; e_zx=e_xz=∂u/∂z+∂w/∂x;

〖{e}={e_xx e_yy e_zz e_xy e_yz e_zx} 〗^T

matriceal, relațiile Cauchy pentru cazul 3D, pot fi scrise:

{e}=[Δ]{u}

[Δ] = [■(∂/∂x&0&0@0&∂/∂y&0@0&0&∂/∂z@∂/∂y&∂/∂x&0@0&∂/∂z&∂/∂y@∂/∂z&0&∂/∂x)],

unde exx ,eyy ,ezz reprezintă deformaţiile specifice normale (alungire specifică), iar exy ,eyz ,ezx sunt deformaţiile specifice de forfecare (tangenţiale, lunecare specifică).

Pentru descrierea deformaţiilor specifice în cazul analizelor tridimensionale (3D) de elasticitate, sunt necesare doar 6 componente datorită relaţiilor de simetrie.

Ecuațiile Hooke, tensiuni-deformații specifice. Cazul analizei tridimensionale 3D

În ipotezele teoriei elasticității, relațiile dintre deformațiile specifice elastice {ε} și tensiuni {σ} sunt liniare, respectiv legea lui Hooke este:

tangențiale.

În proiectarea structurilor se impune uneori cunoaşterea tensiunilor suplimentare care apar ca urmare a solicitărilor termice, pentru corpurile din materiale izotropice dilatările termice sunt aceleaşi în orice direcţie rezultînd că, pentru un corp izotrop paralelipipedic infinit mic supus unei variaţii de temperatură, acesta se va dilata termic fără apariţia de distorsiuni unghiulare şi îşi va păstra forma rectangulară. Dacă considerăm.