Modelul de regresie liniară simplă Influența importurilor asupra PIB în perioada 2008-2018

I. Noțiuni teoretice

I.1.Introducere

Modelele de regresie fac parte din categoria modelelor stochastice (statistice) în care toți factorii explicativi ai unui fenomen, care nu își găsesc locul în model direct în model, apar cumulați sub forma unei variabile aleatoare numită eroare.

O variabilă Y (parametrul de ieșire) care cuantifică fenomenul studiat poate fi explicată prin regresia pe unul sau mai mulți factori explicativi (parametrii de intrare). Toți factorii explicativi care nu sunt suficient de relevanți pentru Y, intră în model sub forma cumulativă a erorii.

În cazul în care factorii explicative relevanți se rezumă la un singur factor X, avem de a face cu modelul de regresie simplă, de forma:

Y = f(X) + ε,

unde ε reprezintă eroarea din model, iar f este funcția care descrie legătura dintre variabile, numită și funcție de regresie.

Dacă avem doi sau mai mulți factori explicativi (predictivi), X1, X2, ,Xn, atunci regresia se numește multiplă și modelul corespunzător va fi:

Y = f(X1, X2, ,Xn) + ε.

Problema regresiei pleacă de la existența unui set de date privind două sau mai multe variabile aleatoare, scopul modelării fiind descrierea relației dintre ele, adică determinarea funcției f, în vederea prognozării valorilor variabilei dependente în raport cu valorile variabilelor explicative (independente). Această problemă se pune doar atunci când între variabile există o legătură reală, bazată pe natura fenomenelor care stau la baza lor.

Cele mai simple modele de regresie sunt cele liniare, adică cele în care f depinde liniar de variabilele predictive. O mare parte din dependențele reale sunt de tip liniar sau pot fi reduse la modelul liniar, motiv pentru care studierea unui astfel de model ocupă un loc important în modelarea matematică. Vom considera în cele ce urmează, cazul unui model de regresie liniară simplă.

I.2. Modelul de regresie liniar simplu

Modelul de regresie liniară simplă este de forma

Y = α X + β+ ε,

unde α și β se numesc parametrii dreptei de regresie, X se numește predictor sau variabilă explicativă/ independentă, Y variabilă dependent sau efect, iar ε, eroare.2

I.3. Metoda celor mai mici pătrate

Fie X o variabilă independentă și fie Y o variabilă dependentă de X. Asupra variabilelor X și Y se fac n observații și astfel se obțin perechile de date numerice:

Deoarece variabila Y depinde X, problema ajustării constă în determinarea unei funcții , care să reprezinte cât mai bine legea de variație a variabilei Y în raport cu variabila X, adică .

Notăm cu:

- valori observate;

- valori ajustate ale valorii observate ;

- distanța sau abaterea dintre datele observate y și cele ajustate .

Dacă se cunoaște funcția f , atunci se pot determina valorile și valorile , .

Distanța dintre datele observate y și cele ajustate , apare ca distanța dintre două puncte din spațiul , adică un punct de coordonate și altul de coordonate , și este definită de relația: