Proiectarea unui Filtru Digital de Tip FIR

PROIECTAREA UNUI FILTRU DIGITAL

Stud.sg. Brîncovean Ovidiu

Abstract – În aceasta lucrare urmarim sa realizam proiectarea software a unui filtru digital , mai precis a unui FIR (Finit Impulse Respons) cu faza liniara utilizând atât metoda ferestrei dreptunghiulare cât si metoda ferestrei Kaiser. Vom prezenta de asemenea consideratii teoretice privind aceste filtre FIR si vom implementa în Matlab programele corespunzatoare .

I. Introducere:

Un filtru digital este un sisrem discret, liniar si invariant în timp (SDLIT), utilizat în scopul modificarii spectrului de amplitudini si/sau de faze al unui semnal.

SDLIT realizabile fizic (filtrele digitale) pot fi clasificate în doua categorii, în functie de durata (lungimea) raspunsului la impuls:

a) Sisteme (filtre) cu raspuns finit la impuls (prescurtat RFI), cu functia pondere h[n]

nenula pentru nµ{0,1,2,…,N-1}. Se spune ca N reprezinta lungi

ea raspunsului la impuls. Pentru aceste filtre implementarea operatiei de filtrare are la baza produsul de convolutie particularizat corespunzator: . (1)

b) Sisteme (filtre) cu raspuns infinit la impuls (prescurtat RII), cu functia pondere

h[n] pentru ne0.

Din punct de vedere al realizarii (implementarii), filtrele digitale pot fi clasificate în filtre recursive si filtre nerecursive .

II. Consideratii teoretice:

A)Proiectarea filtrelor digitale;:

Proiectarea unui filtru digital, indiferent daca se doreste o relizare hardware sau una software, presupune parcurgerea urmatoarelor patru etape importante:

1. Aproximarea, constând în determinarea coeficientilor filtrului astfel încât sa fie îndeplinite performantele specificate la proiectare.

2. Alegerea unei structuri specifice, de realizare si cuantizarea coeficientilor filtrului (cu o lungine de cuvânt precizata).

3. Cuantizarea variabilelor filtrului digital, adica a semnalelor de intrare si iesire precum si a semnalelor intermediare.

4. Verificarea prin simulare a modului în care rezultatele proiectarii satisfac cerintele impuse la proiectare.

Analiza rezultatelor obtinute în cea de-a patra etapa determina în general revizuiri ale treptelor 2) si 3) cu scopul de a ne apropia cât mai mult de performantele dorite.

Filtrele FIR (Finit Impulse Response) au câteva proprietati care le fac utilizabile într-un larg domeniu de aplicatii. Principalele proprietati ale filtrelor FIR sunt:

- posibilitatea de a avea o caracteristica de faza liniara, ceea ce permite utilizarea lor în prelucrarea semnalelor, fara a introduce distorsiuni de faza

- stabilitatea pentru structurile care nu utilizeaza blocuri recursive;

- implementarea eficienta, chiar în cazul filtrelor FIR de ordin mare, prin utilizarea algoritmilor transformatei Fourier rapide (TFR) pentru a transpune practice suma convolutiva:

;

- posibilitatea de a avea coeficientii variabili în timp;

- posibilitatea de a obtine filtre FIR de ordin înalt printr-o proiectare indirecta si o implementare ce foloseste filtre simple ca circuite de interpolare;

- cuantizarea coeficientilor nu afecteaza stabilitatea;

- zgomotul de rotunjire, inerent în realizarile cu precizie aritmetica finita, poate fi micsorat relative usor pentru filtrele FIR realizate nerecursiv;

În afara de aceste avantaje filtrele FIR cu faza liniara prezinta si dezavantaje cum ar fi:

- în anumite aplicatii, lungimea N (a functiei pondere a filtrului) ce satisface cerintele de proiectare este mare. Aceasta implica în mod evident o întârziere de grup normata mare, egala cu (N-1)/2, ceea ce poate fi un impediment în unele cazuri;

- întârzierea filtrelor FIR cu faza liniara nu este întotdeauna un numar întreg de perioade de esantionare, fapt ce poate crea anumite probleme în unele aplicatii;

- de asemenea, în sistemele de control cu reactie, o întârziere mare în bucla de reactie este în general inacceptabila.

B)Caracteristicile filtrelor FIR cu faza liniara:

Fie h[n] functia pondere a filtrului numeric FIR. Considerând ca N este lungimea acestei secvente cauzale, definita pe suportul, 0dndN-1 transformata z a lui h[n], ce reprezinta functia de transfer a filtrului, este data de relatia:

(2)

Transformata Fourier a lui h[n] se obtine prin evaluarea lui H(z) de-a lungul cercului de raza unitate din planul z: