Contactor Electromagnetic

Capitol I

MODELE MATEMATICE DIFERENTIALE ALE CAMPULUI ELECTROMAGNETIC

1.1. MARIMI DE STARE ALE CAMPULUI ELECTROMAGNETIC

În orice punct din spaţiu, localizat prin vectorul de poziţie , şi în orice moment t, câmpul electromagnetic este caracterizat prin patru mărimi de stare, locale, vectoriale, tridimensionale:

- intensitatea câmpului electric;

- inducţia electrică;

- intensitatea câmpului magnetic;

- inducţia magnetică.

În plus, starea corpurilor, din punct de vedere al fenomenelor electromagnetice, este complet caracterizată de două mărimi de stare, locale, una vectorială şi una scalară:

- densitatea de curent;

- densitatea de sarcină electrică.

Prin integrarea spaţială a acestor două mărimi se obţin mărimi de stare globale, scalare:

- tensiunea electrică;

- fluxul electric;

- tensiunea magnetică;

- fluxul magnetic;

- intensitatea curentului electric;

- sarcina electrică.

În aceste relaţii cu s-a notat elementul de linie al liniei C, cu s-a notat elementul de suprafaţă S, iar cu dv s-a notat elementul de volum al domeniului D.

Este de reţinut că , , , formează sisteme de mărimi fundamentale, iar celelalte sunt mărimi derivate.

1.2. RELATII DE LEGATURA INTRE MARIMILE DE STARE. ECUATII CONSTITUITIVE

Din cele prezentate mai sus rezultă că, pentru fiecare dintre cele două aspecte ale câmpului electromagnetic, se definesc două mărimi de stare., însă, fiecare acestea caracterizează proprietăţi ale unei aceleiaşi entităţi fizice, ceea ce a dus la concluzia că între ele trebuie să existe relaţii de legătură.

Pornind de la aceasta, experimental, s-a stabilit că, pentru fiecare pereche de mărimi fundamentale, există o relaţie de legătură, care, în paralel, se exprimă sub forma:

De asemenea, legea conducţiei electrice stabileşte legătura:

Forma funcţiilor , , , depinde de mediul (substanţa, materialul) în care este stabilit câmpul electromagnetic ce se analizează. Astfel, în cazul general, al unui mediu anizotrop, neliniar şi cu histerezis, relaţiile de legătură au forma:

unde: , , - sunt, respectiv, polarizaţia electrică permanentă, magnetizaţia permanentă, intensitatea câmpului electric inprimat, din punctul considerat, iar 0, 0 sunt permitivitatea electrică respectiv permeabilitatea magnetică a vidului.

De asemenea , , , sunt tensorii de ordinul doi, cu matricile asociate de dimensiune 33, simetrice, numiţi respectiv, tensorul permitivităţii electrice, tensorul permeabilităţii magnetice, tensorul conductivităţii electrice ai mediului considerat. Înseamnă că fiecare dintre aceşti tensori exprimă proprietăţi locale ale mediului respectiv. Din acest motiv, se spune că relaţiile (1.5) – (1.7) reprezintă expresia matematică a legilor material corespunzătoare sau că sunt ecuaţiile constitutive ale mediului considerat.

Matricea asociată tensorului se poate aduce la forma canonică (diagonală):

(1.7)

unde: r1, r2, r3 sunt permeabilităţile magnetice relative corespunzătoare de magnetizare principale, notate cu 1, 2, 3 şi fiecare dintre ele sunt funcţii de t, , , adică:

(1.8)

Dacă cele trei axe principale de magnetizare sunt ortogonale două câte două, se spune că mediul este ortotrop magnetic.

În acest caz, folosind un sistem de coordonate carteziene, ale cărei axe se aleg ca să coincidă cu axele principale de magnetizare, relaţia (1.7) devine:

(1.9)

Relaţiile (1.7) – (1.9) sunt valabile şi pentru tensorii , , când 1, 2, 3 se numesc axe principale de polarizare electrică.

În continuare se consideră numai ecuaţia constitutivă (1.6), însă trebuie subînţeles că toate cele ce se vor prezenta rămân valabile şi pentru celelalte ecuaţii. Cu alte cuvinte, se analizează proprietăţile mediului numai din punct de vedere al câmpului magnetic şi al densităţii de curent.