Modelarea și Simularea unui Cuadripol Electric

1.Descrierea sistemului cuadripol electric:

Fie sistemul constituit din urmatorul circuit electric privit ca sistem cu orientarea de la

u1->u2. La momentul iniţial condensatorul este încărcat cu tensiunea uc0 iar curentul prin

circuit este i(0)=0.

Circuitul din figura este un sistem de tip SISO(o singura intrare si o singura iesire) si

va fi modelat in cadrul lucrarii ca un sistem fizic in timp continuu (STC).

Sistem cu orientarea u1→u2 u=u1 y=u2

Notam ic curentul prin condensator si uc tensiunea condensatorului iar iL si uL

curentul si tensiunea prin bobina.

Valori numerice: L=3H; C= 0.15μF; R2=2 kΩ ;R1=1kΩ.

2.Determinarea modelului matematic primar al sistemului:

Modelul matematic primar cuprinde ecuaţiile circuitului electric care exprima bilanţul dintre tensiunea de intrare şi căderile de tensiune din circuit, respectiv tensiunea de ieşire în funcţie de căderile de tensiune din circuit:

uc(t)= uL(t)+u2(t) (1)

u1(t)=R1*i1(t)+ uc(t) (2)

i1(t)=ic(t)+iL(t) (3)

uL(t)=R2*iL(t) (4)

uL(t)=L*(diL/dt) (5)

uc(t)=(1/C)* ∫0t ic(t)dt +uc0 (6)

3.Determinare MM-II si MM-ISI si a functiei de transfer pe cale analitica:

A)MM-II

Din ultima ecuatie (6) rezulta prin derivare: ic(t)=C* (duc/dt)

Prin inlocuire in ecuatia (3) va rezulta

i1(t)=u2(t)/R2 +L*C*((d2U2/dt)/R2) +C*(dU2/dt)

Prin inlocuire in ecuatia (1) rezulta:

u1(t)=R1*u2(t)/R2+R1*L*C*((d2U2/dt)/R2)+C*(dU2/dt)+L*(dU2/dt)+u2(t)

Deoarece u=u1 si y=u2 rezulta MM-II al sistemului:

y’’(t) *((R1/R2 )*C*L) + y’(t)*(R1*C+ L/R2) +y(t)*(R1/R2+1)=u(t)

B)MM-ISI

(7) x=[iL uc]T => x’=[iL’ uc’]T

(8) y=u2=[R2 0]*[iL uc ]T+[0]*u1 =>C=[R2 0] si D=[0]

Pentru a determina A si B ne vom folosi de relatiile (1)(7).

Din (6)=> uc’(t)=(1/C)*ic(t)

ic(t)=i1(t)-iL(t) iar i1(t)=(u1-uc)/R1

Rezulta asadar: uc’(t)=(1/C) *(u1-uc)/R1-iL/C

iL’= uL/L=(uc-u2)/L=uc/L –(R2*iL)/L

Deci

A=[-R2/L 1/L ; -1/C -1/C*R1]

B=[0 ; 1/(C*R1)]

C=[R2 0]

D=[0]

C)FUNCTIA DE TRANSFER:

In domeniul timp am obtinut ecuatia:

y’’(t) *((R1/R2 )*C*L) + y’(t)*(R1*C+ L/R2) +y(t)*(R1/R2+1)=u(t)

In domeniul operational prin aplicarea transformatei Laplace=>

S^2 *y(s) *((R1/R2 )*C*L) + s*y(s)*(R1*C+ L/R2) +y(s)*(R1/R2+1)=u(s),<=>

<=>y(s)=u(s) / ( (S^2 *((R1/R2 )*C*L) + s*(R1*C+ L/R2) +(R1/R2+1) )