Modelarea și Optimizarea unui Sistem Electroenergetic de Putere

1. Modelul general al unei probleme de optimizare

1.1 Modelul general

Optimizarea - este ansamblul de metode si tehnici de cercetare de orice fel care ajuta la gasirea solutiei celei mai bune - solutia optima.

Deoarece, datorita restrictiilor nu intotdeauna se poate accepta solutia optima se admite o solutie suboptimala.

Algoritmul solutionarii unei probleme de optimizare impune ca prim pas - formularea modelului matematic al problemei de programare matematica iar ca pas urmator - solutionarea modelului adica aflarea solutiei modelului apeland la metode, procedee , tehnici de optimizare adecvate.

Intotdeauna este corect ca orice problema tehnica formulam sa studiem si analizam aspectul sau economic, adica intotdeauna o problema tehnica este viabila in masura in care efectele sale economice sunt viabile.

Modelul matematic al oricarei probleme de optimizare are o structura comuna, care cuprinde urmatoarele trei aspecte de baza: variabile de optimizat , restrictii si functia criteriu.

1.2 Variabile de optimizat

Variabilele unei probleme de optimizare numite si -variabile de optimizat- reprezinta un numar de marimi variabile prin intermediul carora este descrisa configuratia structurala, functionala sau de evolutie a unui fenomen tehnic si/sau economic formand impreuna o problema tehnico-economica.

Variabilele de optimizat formeaza o submultime a marimilor de stare , care in ansamblul lor descriu starea unui sistem tehnico-economic la un moment dat sau pe o perioada data.In procesul optimizarii, variabilele de optimizat sunt singurele care isi modifica valoarea, toate celelalte marimi de stare ramanand constante.

Multimea variabilelor de optimizat legata de o anumita problema de programare matematica intr-un spatiu real cu n dimensiuni R, poate fi reprezentata printr-un vector coloana de forma N dimensionala: x=[x1 x2 xj xn]T.

Facand abstractie de natura fizica a variabilelor de optimizat, vom trata unitar aceste variabile prin vectorul var de optimizat de forma generala: x=[x1 x2 xn]T.

O prima clasificare a variabilelor de oprimizat se poate face in: -variabile continuue- adica variabile care pot lua orice valoare reala intre ±  sau intre anumite limite reale date.

-variabile discrete adica variabile care pot lua numai anumite val reale intre ±  sau intre anumite limite reale date.

Distingerea acestor doua categorii este absolut necesara, deoarece metodele si tehnicile folosite in calculul de optimizare sunt fundamental deosebite.

1.3 Functia criteriu

Functia criteriu reprezinta expresia matematica a criteriului de optimizare ales.

Expresia ei matematica exprima interactiunea, legatura obiectiva care exista intre variabile de utilizare de la x1 la xn pentru a exprima scopul obiectivului de utilizat.In concluzie functia criteriu trebuie sa redea cat mai exact fenomenul tehnic sau economic al obiectivului de optimizare pe care ni-l propunem.

Functia criteriu este o functie reala cu valori reale de forma: F(x)=F(x1 x2 xn)

Se poate realiza o clasificare a lor: a.) in functie de natura relatiilor dintre variabilele xi, functia criteriu F(x) poate fii: -liniara

-neliniara

b.)in functie de interpretarea geometrica a functiilor F(x) in spatiul R(n) poate distinge urmatoarele doua tipuri:

-functii convexe, fiind acelea care satisfac conditia ca segmentul de dreapta care uneste orice pereche de puncte de pe graficul functiei sa nu se gaseasca sub graficul functiei

-functii concave, daca segmentul mentionat nu se gaseste niciodata deasupra graficului functiei.

c.)in functie de variatia acestor functii criteriu pe un domeniu, distingem:

-functii continuue pe domeniul de optimizare, care in fiecare punct al acestui domeniu satisfac conditia: F(x)=lim(Dx tinde la 0) F(x+Dx)

-functii discontinuue, cele care nu satisfac conditia.

d.)in functie de numarul valorilor maxime sau minime ale lui F(x)

-functii unimodale, sunt functii care au un singur maxim sau minim pe domeniul de optimizare

-functii multimodale, care au mai multe maxime sau minime pe domeniul de optimizare.

e.)in functie de numarul functiilor criteriu ale problemei de optimizare distingem:

-probleme cu o singura functie criteriu

-probleme cu mai multe functii criteriu

Modelul matematic al unei probleme de optimizare impune ca sa determinam solutia optima pentru care functia criteriu are valoarea optima in conditiile in care sunt respectate restrictiile impuse variabilelor de optimizat.