Dobânzi Simple și Dobanzi Compuse

DOBÂNZI

Dobânda simplă

Dobânzi copmuse

Aplicații – dobânda simplă

Aplicații – dobânzi compuse

Dobânda simplă

1. Definiții

Dobânda este noțiunea de bază cu care se opereaza în calculele financiare. Ea reprezintă un surplus monetar care se adaugă unei sume plasate sau împrumutate.

Dobânda unitară reprezintă dobânda furnizată de 1 u.m. pe timp de un an şi va fi notată convențional cu i.

Dobânda procentuală reprezintă dobânda unitară pentru 100 u.m. şi o vom nota cu d.

Avem deci:

d=100 ∙ i

Definiție:

Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toata durata împrumutului.

Fie S suma depusă sau împrumutată şi t numarul de ani de împrumut. Daca D este dobânda simplă, avem:

D=S d/100 t = (Sd t)/100 =Sit

Uneori se practică împrumuturi sau depuneri pe perioade mai mici de un an.

Vom nota cu n numărul de părți egale în care se împarte un an şi cu k numărul de părți pentru care se calculează dobânda.

Avem:

D= Sdk/100 t = Sik/n

Suma totală la sfârşitul perioadei de t ani este:

St=S+D=S+ (Sd t)/100 = S ( 1+ (d t)/100) 1 =S(1+it)

Reciproc, pentru a obține suma St dupa t ani va trebui plasată la începutul perioadei de depunere suma:

S= S_t/(1+dt/100) = S_t/(1+it)

Fie acum S1,...,Sn , sume plasate pe termenele t1,...,tn cu aceeşi dobândă d. Problema care se pune este de a înlocui aceste sume şi durate printr-o sumă unică S şi o durată unică t astfel încât suma dobânzilor să fie aceeaşi cu cea furnizată de suma S pe durată t.

Avem: S1it1+...+Snitn= Sit de unde:

t= (∑_(i=1)^n 〖S_(i ) t_i 〗)/S

numită scadență comună (dacă se cunoaşte suma depusă) şi:

t= (∑_(i=1)^n 〖S_(i ) t_i 〗)/(∑_(i=1)^n S_i )

numita scadență medie dacă S= ∑_(i=1)^n S_i .

Să considerăm acum sumele S1,...,Sn depuse pe duratele t1,...,tn cu dobânzile d1,...,dn. Ne propunem sa determinăm dobânda medie d pentru care aceste sume plasate pe aceleaşi durate să furnizeze aceeasi dobândă totală.

Avem:

(∑_(i=1)^n 〖S_(i ) d_i t_i 〗)/100=(∑_(i=1)^n 〖S_(i ) t_i 〗)/100

de unde:

d = ( ∑_(i=1)^n 〖S_(i ) d_i t_i 〗)/(∑_(i=1)^n 〖S_(i ) t_i 〗)

numită dobânda medie.

Dobânda compusă

Definiție:

Dobânda compusă este dobânda obținută în urma adăugării dobânzii simple la suma plasată inițial în scopul producerii unei noi dobânzi.

Dacă i este dobânda unitara, vom numi:

u=1+i - factorul de fructificare

Avem astfel: S1=S+Si=S(1+i),

S2=S1+S1i=S1(1+i)= S(1+i)2.

Sn=S(1+i)n.

Sn+1=Sn+Sni=Sn(1+i)=S(1+i)n+1 deci prin inducție matematică rezultă:

Sn=S(1+i)n=Sun , ∀n ≥ 0

Dobânda compusă este:

D=Sn-S=[S(1+i)n-1] =S(un-1)

În situatie în care n nu ∈N, se poate proceda în două moduri:

1) Se foloseste formula generală a dobânzii compuse pentru numărul întreg de perioade de timp şi se aplică formula dobânzii simple pentru partea fracționară, soluție numită soluția rațională.

2) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse atât pentru partea întreagă cât şi pentru partea fracționară, soluție numită soluția comercială.

Să studiem acum fiecare din cele doua cazuri:

1) Fie t=n + k/m durata de depunere în care n reprezintă numărul de ani,

m-numărul de perioade de timp egale ale unui an şi k numărul de perioade pe care s-a plasat împrumutul.

După n ani avem: Sn=S(1+i)n iar în restul de k/m ani avem dobânda simplă la Sn: D=Sni k/m .

Obținem deci:

St=Sn+D = S(1+i)n+S(1+i)n i k/m = S(1+i)n(1+i k/m)

2) În acest caz functia S: [0,∞] → R, S(t)=S(1+i)t ∀ t ∈ [0,∞] fiind continuă

pe tot domeniul de definiție, avem:

St=S(1 + i)n+k/m = S un+k/m = S un uk/m

În problema dobânzilor compuse, de o importanță foarte mare este perioada la care se calculează procentul de dobândă. Fie deci dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unități de timp si dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unități de timp. Dobânzile se numesc proporționale dacă ele produc acelați efect în cazul dobânzilor simple.