Considerații asupra Mecanicii Newtoniene în Sisteme de Referință Neinerțiale

Introducere

Intenţia lucrării de faţă este de a umple câteva goluri în mecanica cerească, de a face o descriere a unor fenomene şi mărimi cât mai apropiată de realitate.

Se ştie că teoriile actuale ale mecanicii cereşti, privite din perspectiva lor clasică sunt concepute pentru sisteme de referinţă inerţiale. De exemplu, sistemul nostru solar este privit ca un ansamblu de n corpuri ce execută mişcări individuale după traiectorii conice în jurul corpului central, Soarele, considerat reper inerţial. În realitate însă aceasta este doar o primă aproximaţie. Având în vedere că mişcarea lui de revoluţie în jurul centrului galaxiei este foarte amplă, în această aproximaţie raza traiectoriei sale de revoluţie se consideră tinzând la infinit şi astfel traiectoria este o dreaptă iar reperul devine astfel inerţial.

Totuşi, realitatea nu este aşa. Acest motiv reprezintă intenţia lucrării de faţă. Să studieze mişcarea corpurilor cereşti în repere neinerţiale din punctul de vedere al mecanicii cereşti clasice şi să compare rezultatele cu cele ale mecanicii relativiste. Pe parcursul ei vor apărea unele similitudini interesante, vor fi explicate chiar nişte fenomene ce n-au putut fi explicate în cadrul mecanicii inerţiale şi nici relativiste. Vor fi aduse corecţii formulelor clasice ce ţin cont de mişcarea reală.

În principiu lucrarea are la bază calculul avansului de periheliu şi al deviaţiei razelor de lumină. Am optat pentru aceste confirmări din motiv că pe baza lor se pot face comparaţii cu mecanica relativistă. Având în vedere superioritatea şi multitudinea predicţiilor mecanicii relativiste, scopul lucrării nu este deci de a reabilita mecanica clasică ci, din contră, de a înţelege mai bine fenomenele reale pe modele cât mai puţin abstracte şi cât mai apropiate de realitate.

Pentru a fi tratată într-un mod cât mai unitar am căutat să folosesc acolo unde se impune acelaşi formalism.

Problema celor două corpuri în repere inerţiale

- sistemul absolut (inerţial)

Asupra lui P acţionează:

Ecuaţia mişcării absolute a punctului P este:

Punctul S se deplasează faţă de sistemul absolut datorită forţei:

Iar ecuaţia mişcării absolute a acestui punct este:

Ţinând cont de faptul că:

Avem:

iar din (1) şi (2) rezultă:

care este ecuaţia ce descrie mişcarea punctului P faţă de S, iar

Notăm:

→ parametrul gravitaţional al cuplului de puncte materiale

→ acceleraţia

Să evaluăm acum ecuaţia (3) în coordonate polare Se ştie că componentele acceleraţiei gravitaţionale în coordonate polare sunt:

Ţinând cont de faptul că , din identificarea termenilor corespunzători fiecărui versor rezultă două ecuaţii scalare:

Să ne ocupăm întâi de ecuaţia (4)2. înmulţim ambii termeni ai ecuaţiei cu Se observă imediat că avem:

De unde rezultă:

- legea a doua a lui Kepler. (5)

Introducând rezultatul (5) în ecuaţia (4)1 vom avea:

prin urmare:

Observând că ultima relaţie se mai poate scrie (după ce-am înmulţit-o cu ):

Din care rezultă imediat a doua integrală primă, integrala energiilor:

În relaţiile (5) şi (6) constantele C şi h pot fi determinate din condiţiile iniţiale ale mişcării.

Calculul deviaţiei luminii

Ridicând ecuaţia (5) la pătrat şi împărţind-o la (6) se obţine:

(7)

formulă care ne ajută să calculăm deviaţia luminii în aproximaţia newtoniană.

Pentru aceasta considerăm că corpul ceresc unde se va măsura aceasta se află la mare distanţă faţă de sursă (o stea oarecare). Ca urmare Pământul se va mişca faţă de emiţător nu pe o traiectorie eliptică ci pe una hiperbolică. Ca atare vom avea:

(8)

pentru traiectoriile eliptice, unde a – este semiaxa mare, u – anomalia adevărată, e – excentricitatea elipsei, iar ecuaţia s-a obţinut din ecuaţia elipsei înlocuind cu , în virtutea aproximaţiei făcute.

În continuare să ne întoarcem la ecuaţia (6) pentru a deduce câteva expresii de care vom avea nevoie în desfăşurarea raţionamentului.

Ecuaţia (6) se mai poate scrie, după aducerea la acelaşi numitor şi rearanjarea termenilor:

Prin anularea radicalului se obţin punctele în care Pământul are apropierea maximă şi minimă de centrul atractor, numite puncte absidale (periheliu şi aheliu). Prin urmare vom considera că ecuaţia: