Curbe și suprafețe B-spline

B-splines sunt utilizate pe scara larga in grafica computerizata CAD pentru modelare si design deoarece poseda multe proprietati geometrice si calculabile.

In acest domeniu, curbele B-spline sunt folosite pentru a trage curbe, suprafete si obiecte tridimensionale. In loc de a discretiza suprafete, B-spline poate trage suprafete netede, ceea ce reprezinta un mare avantaj.

Curba B-spline este o curba de forma libera definita exclusiv printr-un set de puncte, numite puncte de control. Curba este descrisa matematic prin functii polinomiale definite pe portiuni, ceea ce le confera proprietatea de control local (deplasarea unui punct de control are ca efect modificarea formei curbei numai in vecinatatea punctului).

Curbele spline sunt curbe de interpolare prin puncte de control care respecta conditia de continuitate si de curbura. Controlul formei fiind facut prin puncte de control si schimbarea unghiului de tangenta, le face mai dificil de manevrat pentru crerarea asa ziselor desene libere.

O curba spline este o succesiune de curbe segmentate care sunt conectate impreuna pentru a forma o singura curba continua. De exemplu, in analiza matematica, o colectie de curbe Beizer, legate cap la cap poate fi numita o curba spline.

Cele mai multe forme sunt totusi prea complicat de definit utilizand o singura curba Beizer.

Curbele Beizer, spre deosebire de curbele spline utilizeaza curbe de aproximare care nu trebuie sa treaca prin toate punctele de control.

Difernetele principale intre curbele Beizer si B-spline sunt :

- forma curbei, aceasta fiind determinata numai de punctele de control fara a se utiliza prima derivata ceea ce face manevrarea lor mai usoara.

- gradul sau ordinul curbei este dat de catre punctele de control n+1 pentru gradul n fiind astfel posibila obtinerea unei continuitati mai ridicate.

- este mai neteda decat curba spline deoarece foloseste derivate de ordin superior.

Cuvantul „spline” poate fi de asemena utilzat ca verb. Cuvantul „spline”provine din industria de nave, in acest caz insemnand o fasie subtire de lemn.

Curbele pot fi descrise matematic prin ecuatii neparametrice sau prin ecuatii parametrice. O exprimare explicita neparametrica pentru o curba 3D are forma:

P = [ x y z ] T = [ x f (x) g (x) ] T

Unde P este vectorul de pozitie al punctului P

Reprezenatrea neparametrica a unei curbe lucreaza ca si un sistem local pentru punctele curbei, forma generala fiind:

P (u) = [ x y z ] T = [ x(u) y(u) z(u) ] T pentru umin ≤ u ≤ umin

Proprietatile curbelor B-spline

Curbele B-spline impartasesc multe proprietati importante cu curbele Beizer, deoarece primele sunt o generalizare a celor din urma. Mai mult de atata, Curbele B-spline prezinta chiar mai multe proprietati decat curbele Beizer.

In cele ce urmeaza o sa prezentam curba B-spline C(u) de grad p definita de n+1 puncte de control si a unui vector nod U = ( u0, u1, ...,um) cu primul p+1 si ultimul p+1 puncte de control, adica (i.e., u0 = u1 = ... = up si um-p = um-p+1 = ... = um).

Va prezentam cele mai importante proprietati dintre acestea:

1.) Curba B-spline C(u) este o curba neteda ( piecewise) a carui fiecare componenta are gradul p .

Dupa cum s-a mentionat in pagina precedenta, curba C(u) poate fi privita ca o succesiune de curbe segmentate, definite prin fiecare punct de control. In fig. 1, se prezinta cazul in care n = 10, m = 14 si p = 3, primele patru puncte (noduri) si ultimele patru puncte (noduri) sunt de fixare (sprijin) iar celelalte 7 puncte (noduri) interne sunt distribuite uniform.