Interpolarea Folosind Metoda celor Mai Mici Pătrate

INTERPOLARE FOLOSIND

METODA CELOR MAI MICI PATRATE

Interpolarea este un proces de definire a unei functii care are anumite valori în anumite puncte specificate.

Cu totii stim ca doua puncte determina o linie dreapta. Mai precis, oricare doua puncte într-un plan (x1; y1) si (x2; y2), cu x1 diferit de x2, determina un polinom de rang x al carui grafic va trece prin acele doua puncte. Exista multe formule diferite pentru polinoame, dar ele trebuie sa conduca la acelasi grafic.

Aceasta se generalizeaza la mai mult de doua puncte. Dându-se n puncte într-un plan (xk, yk ), k=1,…..,n, exista un polinom unic cu rangul x al carui grafic trece prin acele puncte. Este mai usor de reamintit ca n, numarul de puncte, este, de asemenea, numarul coeficintilor , de asemenea câtiva dintre coeficenti pot avea valoarea 0, de aceea rangul poate sa fie si mai mic de n-1. Înca o data, pot exista mai multe formule pentru polinoame, dar în final ele trebuie sa defineasca acelasi grafic.

Acest polinom este denumit polinom de interpolare pentru ca este exact reprodus de datele date:

P(xk) = yk , k=1, …..,n.

Cea mai compacta reprezentare o are forma Lagrange a polinomului de interpolare:

P(x)= å(  (x- xk )/( xk – xj )* yk .

Exista n termeni în suma si n-1 termeni în fiecare produs, asa ca expresia defineste rangul polinomului la cel mult n-1. Daca P(x) este evaluat la x = x k , toate produsele cu exceptia celor cu indice k, sunt 0. Mai mult, produsele cu indice k sunt egale unele fata de celelalte, asa ca suma este y k si conditiile de interpolare sunt satisfacute.

Consideram urmatorul exemplu:

x= 0:3;

y= [-5 –6 –1 16];

Comanda disp ([x; y]) arata : 0 1 2 3

-5 –6 –1 16

Parametrizare prin metoda curbei

Daca o curba de interpolare urmeaza îndeaproape poligonul dat, lungimea segmentului curbei dintre cele doua puncete adiacente vor fi apropiate de lungimea curbei

si lungimea curbei de interpolare va fi, de asemenea foarte apropiata, si chiar aproximativ egala cu curba poligon. În figura de mai jos, fiecare segment al curbei polinomiale de interpolare este foarte aproape de coarda suport, si lungimea curbei este aproximativ aceeasi cu cea a curbei poligon. De aceea, daca domeniul este subdivizat în concordanta cu lungimea corzilor, parametrii vor fi aproximati în functie de lungimea arcului. Aceasta se face datorita metodei de parametrizare prin lungimea corzii.

Sa presupunem ca avem punctele D 0, D 1, ..., D n. Lungimea între D i-1 si D i este | D i- D i-1| si lungimea corzii poligoniale este lungimea acestor corzi:

De aceea, ratia lungimii curbei de la punctul D0 la punctul Dk este:

Daca este preferata o parametrizare a curbei de interpolare prin lungimea arcului, domeniul poate fi divizat în funtie de L k. Mai precis, daca intervalul este [0,1], atunci parametrul t k ar trebui sa fie localizat în valoarea lui L k:

unde L este lungimea corzii poligonului. În acest fel parametrii vor divide domeniul în ratii ale lungimii de coarda-

Exemplu. Presupunem ca exista 3 puncte (n=3): D 0-=<0,0>, D 1=<1,2>, D 2=<3,4> si D 3=<4,0>. Lungimea fiecarei corzi va fi: