Rotații

ARGUMENT:

ACEST PROIECT LA INFORMATICĂ CONSTĂ ÎN

PREZENTAREA ÎN LIMBAJUL DE PROGRAMARE TURBO PASCAL A UNEI PROBLEME CE ÎŞI PROPUNE SĂ EXPUNĂ CÂT MAI MULTE DINTRE CUNOSTINŢELE ACUMULATE DE-A LUNGUL CELOR 4 ANI DE LICEU.

NOŢIUNILE DE TEORIE CE VOR FACE OBIECTUL ACESTORA :EXPLICAREA APROFUNDATĂ A TUTUROR PAŞILOR ALGORITMULUI, ATAŞAREA FIŞIERULUI CE DEMONSTREAZĂ CORECTITUDINEA PROBLEMEI, VOR ÎNCERCA SĂ DOVEDEASCĂ PREGĂTIREA CÂT MAI TEMEINICĂ A ELEVEI.

CAPITOLUL I

TRANSFORMĂRI GEOMETRICE

Generalităţi Fie P un plan. O funcţie f : PP sau o resticţie a unei asemenea funcţii se numeşte transformare geomtrică. Transformarea geometrică f : P ataşează fiecărui punct M P un alt punct M’  P pe care îl notăm cu F (M) (fig. II. 1). Mulţimea tuturor punctelor F(M) ,M  P , se numeşte imaginea lui F şi se notează cu F(P). Evident F(P)  P. Un punct M0 cu proprietatea F(M0)=M0 se numeşte punct fix al funcţiei F Transformările geometrice sunt funcţii de un tip mai special.Transformarea geometrică F: P P se numeşte :

1. injectivă , dacă M1 , M2  P ,F(M1)= F(M2) P implică M1 = M2 (echivalent  M1 , M2  P , M1  M2 F(M1)  F(M2)) ;

2. surjectivă ,dacă  M’  P,  M  P astfel încat F(M) =M’ (echivalnt F(P) =P);

3. bijectivă , dacă este injectivă şi surjectivă. Aceasta înseamnă că fiind dat un punct M’  P există un punct unic M  P astfel încât F  ’ Existenţa este asigurată de faptul că F este surjectivă şi unicitatea decurge in faptul că F este injectivă.Dacă F  P P şi Q : (P) P sunt două transformări geometrice atunci prin M(Q  F ( ) QF)),    P, definim transformarea produs Q  F  P P(fig II.2).Produsul transformărilor este o operaţie asociativă adică (Q F)HQ(FH).

1)

2) Fig.II. 3

3)

4) Unei transformări geometrice bijective F  P P i se poate ataşa transformarea geometrică (unică) Q  P P astfel încât Q (’)    P cu proprietatea F ()  ’ Transformările geometrice F şi Q satisfac relaţiile (Q  F) ()   ,   P , (F  Q) ( ‘) ‘ ,  ‘ P. Pe scurt , Q  F  F  Q  P , unde P este identitatea pe P , adică transformarea geometrică caracterizată prin P ()       P. Invers , dacă unei transformări geometrice F  P  P i se poate ataşa o transfomare geometrică , Q  PP care să satisfacă relaţiile Q  F  F Q  P , atunci F este în mod necesar o bijecţie Transformarea geometrică Q se numeşte inversa lui F şi deseori se notează cu F (fig II.3).

5) Dacă F  P  P şi Q  P P sunt transformări geometrice bijective ,atunci Q  F tot bijectivă şi ( Q  F)=FQ. De asemena , pentu orice bijecţie FPP se satisface P  F  F  P  F.

6) Fie planul P raportat la reperul cartezian xoy ,plan orientat prin fixarea sensului de rotaţie trigonometric drept sens pozitiv Sensul mişcării acelor de ceasornic este sensul negativ. Admitem cunoscute noţiunile de unghi orientat şi de măsură algebrică a unui asemenea unghi.

7) Definiţie. Fie  un număr real fixat Transformarea geometrică R  P  P definită prin R ( O )  O şi pentru   0 ,P ()   astfel încât OM =OM  şi măsura algebrică a unghiului orientat MOM să fie , se numeşte rotatii de centru O şi unghi (fig II.1)

8) Fig II.1

9) Rotaţia este bie definită , deoarece fiecărui punct   P i se ataşază un punct şi numai unul P determinat de condiţiile date în definiţie Originea reperului cartezian este singurul punct cu proprietatea R (O)  O , adică este singurul punct fix.

10) Presupunem că M are coordonatele (x,y) şi M’ are coordonatele (x’,y’)