Elemente de logică fuzzy

Logica Fuzzy

1. Introducere-teoria multimilor fuzzy

Acum 2000 de ani Aristotel formula o logica bazata pe 2 valori:adevarat si fals.Aceasta logica avea sa domine lumea de atunci incoace.Din pacate aceasta logica de cele mai multe ori nu este de ajuns pentru a modela fenomene din viata reala si mai grav ea nu poate genera raspunsuri pentru intrebari relative simple,ca de exemplu: “este copilul tau bun sau rau?-probabil ca nici da ,nici nu”,”Persoana X este tanara sau batrana?”.Logica Fuzzy ofera modalitati de a reprzenta realitatea.astfel se introduce notiunile de incertitudine si imprecizie.

Un tip incipient de logică fuzzy a apărut încă din 1920, propus de matematicianul polonez

Jan Łukasiewicz (inventatorul notaţiei poloneze). Sistemul său permitea extinderea valorii de

adevăr a unei propoziţii la toate numerele reale din intervalul [0,1]. Un număr din acest interval era interpretat drept posibilitatea ca propoziţia considerată să fie adevărată sau falsă. Aceste cercetări au dus la apariţia teoriei posibilităţii, o tehnică de raţionament în condiţii de inexactitate.

În 1965, Lotfi Zadeh a extins teoria posibilităţii într-un sistem formal de logică matematică.

De asemenea, a adus în discuţie modalităţile de lucru cu termeni nuanţaţi ai limbajului natural.

Aceast instrument de reprezentare şi manipulare a termenilor nuanţaţi se numeşte logica fuzzy.

Logica tradiţională consideră că un obiect poate aparţine sau nu unei mulţimi. Logica fuzzy permite o interpretare mai flexibilă a noţiunii de apartenenţă. Astfel, mai multe obiecte pot aparţine unei mulţimi în grade diferite. De exemplu, dacă avem în vedere mulţimea oamenilor tineri. Un copil de 10 ani e cu siguranţă tânăr, în timp ce o persoană de 60 de ani cu siguranţă nu. Dar un om de 30 de ani? Sau de 40? În acest caz, putem afirma că persoana de 30 de ani aparţine mulţimii respective într-o măsură mai mare decât cea de 40.

Fie X universul discursului, cu elemente notate x. O mulţime fuzzy A a universului de

discurs X este caracterizată de o funcţie de apartenenţă (x) A μ care asociază fiecărui element x un grad de apartenenţă la mulţimea A:

Pentru a reprezenta o mulţime fuzzy, trebuie să-i definim mai întâi funcţia de apartenenţă. În

acest caz, o mulţime fuzzy A este complet definită de mulţimea tuplelor:

A={(x,}

Dacă X este o mulţime finită X = {x1, , xn}, atunci se foloseşte de multe ori notaţia:

A=

Să presupunem că pentru exemplul amintit mai sus, cu variabila lingvistică tânăr., avem

universul discursului X = {0, 20, 30, 50} şi următoarea funcţie de apartenenţă:

A = 0/1 + 20/0,9 + 30/0,7 + 50/0, cu semnificaţia: o persoană de 20 de ani aparţine mulţimii

oamenilor tineri în proporţie de 90%, una de 30 de ani în proporţie de 70% iar una de 50 de ani nu aparţine mulţimii (gradul său de apartenenţă este 0). Aceste lucruri se reprezintă grafic astfel:

Pe un univers de discurs pot fi definite mai multe submulţimi fuzzy. De exemplu, pentru

universul vârstelor unor persoane, putem defini submulţimile oamenilor tineri, bătrâni sau de vârstă mijlocie. Aceste submulţimi se pot intersecta (este chiar recomandat acest fapt). Aceeaşi persoană va aparţine submulţimii oamenilor tineri cu un grad de 70%, submulţimii oamenilor de vârstă mijlocie cu un grad de 90% şi submulţimii oamenilor bătrâni cu un grad de 30%.

În continuare vom defini câteva noţiuni fundamentale pentru caracterizarea mulţimilor

fuzzy.