Algebre Hopf - Module Hopf și Integrale

CAPITOLUL 1

ALGEBRE ŞI COALGEBRE

1.1 Algebre şi module

Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiţii echivalente ale noţiunii de k-algebră.

Definiţia 1: Un inel unitar A se numeşte k-algebră dacă există :kA morfism unitar de inele astfel încât Im Z(A).

Z(A)=bA; ba=ab, aA.

Definiţia 2: Se numeşte k-algebră un triplet (A, M, u), unde A este un k-spaţiu vectorial, M:AAA şi u:kA sunt morfisme de k-spaţii vectoriale astfel încât următoarele diagrame sunt comutative:

AAA IM AA AA

uI Iu

MI M kA M Ak

AA M A A

Notaţii: Prin I am notat aplicaţia identitate a lui A: I:AA, I(a)=a, aA.

Săgeţile nedenumite din a doua diagramă sunt izomorfismele canonice:

can: AkA, , .

can’:AAk, , .

Cele două definiţii de mai sus sunt echivalente. Într-adevăr, plecând de la prima definiţie, luăm M(ab)=a.b şi u= şi vom obţine comutativitatea celor două diagrame. Pentru implicaţia inversă, definim multiplicarea ab=M(ab), care defineşte pe A o structură de inel unitar, cu elementul identitate la înmulţire u(1), şi luăm  chiar u.

M se numeşte multiplicarea algebrei A, iar u se numeşte unitate.

Definiţie: Fie V şi W două k-spaţii vectoriale. Definim aplicaţia V,W:VWWV, V,W(vw):=wv.

 este izomorfism de k-spaţii vectoriale.

Observaţie: Fie (A, M, u) o k-algebră. Definim Mop:AAA, Mop=MA,A. Atunci Aop=(A, Mop, u) este o k-algebră, numită algebra opusă a lui A.

Definiţie: O k-algebră A se numeşte comutativă dacă următoarea diagramă este comutativă:

AA A,A AA

M M

A

Definiţie: Fie (A, MA, uA) şi (B, MB, uB) două k-algebre. Aplicaţia k-liniară f:AB se numeşte morfism de k-algebre dacă următoarele diagrame sunt comutative:

AA ff BB

A f B

MA MB ; uA uB

k

A f B

Definiţie: Fie A o k-algebră. Se numeşte A-modul stâng o pereche (M, ), unde M este un k-spaţiu vectorial şi : AMM este un morfism de k-spaţii vectoriale astfel încât următoarele diagrame sunt comutative:

AAM I AM AM

I

MI  ;

kM 

AM  A M

Definiţie: Fie A o k-algebră şi (M, ), (N, ) două A-module stângi. Aplicaţia k-liniară f :MN se numeşte morfism de A-module stângi dacă următoarea diagramă este comutativă:

AM If AN

 

M f N

Putem deci defini în acest moment categoria A-modulelor stângi peste algebra A. Obiectele acestei categorii sunt toate A-modulele stângi, iar morfismele între două obiecte sunt morfismele de A-module stângi.

Categoria A-modulelor stângi se notează cu .