Coliniaritate și concurență în plan

INTRODUCERE

Geometria prezintă caracterul cel mai concret dintre toate disciplinele matematice. Pornind de la studiul unor figuri prezente în imediata noastră apropiere, geometria îmbină coerent gândirea abstractă cu gândirea concretă.

Geometria lui Euclid apare ca o doctrină constituită din punct de vedere teoretic, ca o știință deductivă ale cărei adevăruri numite teoreme, se deduc pe cale logică dintr-o serie de definiții și axiome, rezultate din experiență, din observațiile făcute asupra figurilor din spațiul în care trăim.

Reconceperea geometriei drept studiu logic deductiv a determinat reformularea sistemului axiomatic a lui Euclid de către David Hilbert (1862-1943) în cartea sa, Fundamentele geometriei, apărută în 1899. Lucrarea prezintă un sistem complet de axiome, pornind de la care se poate obține prin deducție logică întregul material al geometriei. După axiomatica lui Hilbert au apărut și alte sisteme axiomatice pentru geometria euclidiană: printre acestea se numără și sistemul axiomatic al lui G.D. Birkoff (1884-1944) studiat și în actualele manuale școlare într-o formă ușor modificată.

În geometria elementară, rezolvarea problemelor de coliniaritate a unor puncte sau de concurență a unor drepte se realizează folosind metode și criterii matematice care necesită din partea rezolvitorului o analiză amănunțită. Aceasta implică atât cunoștințe dobândite în școală, cât și un anumit antrenament de a rezolva problemele, o gândire matematică și o tehnică de lucru specifică, o imaginație și o creativitate bine conturate.

Lucrarea de față este structurată în patru capitole după cum urmează:

- Capitolul I prezintă structuri de spațiu euclidian, apoi introduce noțiunea de vector în planul euclidian și de reper cartezian pe o dreaptă și în plan.

- Capitolul II se referă la noțiunea de coliniaritate a unor puncte în plan; sunt prezentate câteva criterii de coliniaritate aplicate pe o serie de probleme celebre de coliniaritate (dreapta lui Gauss, dreapta lui Euler, dreapta lui Newton etc.).

- Capitolul III cuprinde noțiunea de concurență a dreptelor; sunt prezentate criterii de concurență cu aplicabilitate în câteva probleme deosebite și câteva teoreme celebre (teorema lui Carnot, teorema lui Nagel, teorema lui Gergonne etc.).

- Capitolul IV conține dualitatea coliniaritate - concurență precum și câteva probleme rezolvate prin metode alternative, dificultăți în tratarea acestor probleme, evaluarea în problematica coliniarității și concurenței.

Desigur, nu se poate epuiza sfera problemelor de coliniaritate și concurență, însă în cadrul lucrării s-a încercat cuprinderea celor mai interesante rezultate din acest domeniu.

Pentru sprijinul și recomandările primite în realizarea acestei lucrări, aduc mulțumirile mele domnului conf. dr. Dorel Miheț

CAPITOLUL I

NOȚIUNI PRELIMINARE

I.1. PREZENTAREA STRUCTURII DE SPAȚIU EUCLIDIAN

Geometria euclidiană plană este o teorie matematică axiomatizată. Această teorie

dezvoltă proprietățile unei structuri matematice, numită planul euclidian, notat:

εD, :ε x ε- ,m:U - [0,180], AI- IV 

structură matematică pe care o prezentăm în continuare.

Prezentarea sistemului axiomatic

La baza geometriei euclidiene plane se va considera un sistem axiomatic după

G.D.Birkoff, grație accesibilității și eficienței sale.

Noțiunile primare sunt: punctul, dreapta, funcția distanță dintre două puncte  ,

„funcția-măsură-în grade” a unghiurilor m.

Relațiile primare sunt cele aparținând teoriei mulțimilor: apartenență, incluziune,

funcție, relația de echivalență etc.

Punctele se vor nota cu A, B, C, , M, N , , iar dreptele cu a, b,c, d,...; mulțimea

punctelor se notează cu  , mulțimea dreptelor cu D, mulțimea unghiurilor din plan cu U.

Se presupun cunoscute proprietățile algebrice, de ordine, de continuitate și metrice

ale mulțimii numerelor reale. x este un corp comutativ, ordonat arhimedian și

euclidian. Structura metrică pe este dată de funcția distanță:

d(x, y) x - d(x, y)  x - y  

(în particular, are și o structură topologică indusă de d - topologia naturală).

Axiomele geometriei euclidiene plane sunt grupate în 6 grupe mari.