Cuadratură Numerică

CAP.1. INTRODUCERE

Analiza numerică ca parte componentă a matematicii reprezintă teoria generală a metodelor numerice, este utilizată pentru rezolvarea problemelor concrete impuse de practică. Aceasta s-a dezvoltat pe măsura perfecţionării calculatorului electronic capabil să realizeze calcule numerice complicate. Datorită poziţiei speciale a analizei numerice se poate explica aria vastă de cuprindere a acesteia, bogăţia rezultatelor precum şi natura lor cuprinsă între abstracţie şi intuiţie, între rigoare logică şi eficienţă practică.

Un capitol important al analizei numerice îl reprezintă cuadraturile numerice. În sens larg o formulă de tipul

unde f este o funcţie definită şi integrabilă în [a, b] în care vom lua punctele x1, x2, ,xn pe care le vom numi noduri, A1, A2, ,An constante alese încât termenul R numit rest să fie nul când funcţia f(x) este înlocuită cu un polinom oarecare de un anumit grad P. Se poate întâmpla ca unele noduri dintre x1, x2, ,xn să fie în afara [a, b]. În acest caz f(x) se presupune că este definită într-un interval [a', b'] care include [a, b]. Se poate întâmpla ca în formula dată mai multe noduri să coincidă. Astfel de noduri vor fi numite noduri multiple. O formulă de cuadratură cu noduri multiple are forma:

unde nodurile multiple x1, x2, ,xk sunt iar în membrul ai doilea figurează nu

numai valorile funcţiei f(x) în aceste noduri, dar şi valorile derivatelor ei până la ordinul j1-1, în punctul x1, până la ordinul j2-1 în punctul x2, , până la ordinul jk - 1 în punctul xk. Se pune problema determinării constantelor A1j, A2j, ,Akj şi a nodurilor x1, x2, ,xk astfel ca restul R să fie nul când funcţia f(x) este înlocuită cu un polinom oarecare de gradul P De asemenea trebuie să studiem şi restul r al formulei de cuadratură. Metoda de lucru pentru obţinerea formulelor de cuadratură expusă se bazează pe formula generalizată de integrare prin părţi.

Lucrarea este împărţită în patru capitole

În primul capitol intitulat „Introducere" se trece în revistă tematica lucrării şi obiectivele urmărite

În capitolul al doilea intitulat „Formule de cuadratură generale" se prezintă formulele clasice de cuadratură cu două noduri (trapez, Boole, Obreschkoff) ,cu patru noduri (Simpson - Cavalieri, Newton şi altele), formule de cuadratură cu noduri fixe şi formula generală de cuadratură a lui Gauss.

În capitolul al treilea se prezintă formule de cubatură generale (pentru integrale duble) precum şi câteva programe rulate pe calculator pentru calculul integral ce utilizează aceste formule, cu rezultatele numerice aferente.

În capitolul al patrulea instituit „Aplicaţii ale formulelor de cuadratură numerică" se pune în evidenţă utilizarea frecventă în geometrie a calculului diferenţial şi integral precum şi în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale a formulelor de cuadratură prezentate în primele capitole

CAP.2. FORMULE DE CUADRATURĂ NUMERICĂ

2.1. Formule de cuadratură cu două noduri

2.1.1. Problema preliminară

Să se determine constanta A şi B astfel ca f(x) fiind un polinom de gradul întâi să avem (1)

Caracterul liniar şi omogen al formulei (1) arată că pentru determinarea const. A şi B este necesar să se scrie că (1) este verificată de f(x)=1 şi f(x)=x. Se obţin ecuaţiile:

Se găseşte astfel încât (1) devine

Interpretarea geometrică a formulei 1 este aria trapezului determinată de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi y = f(x ) unde f(x ) = polinom de gradul întâi.

2.1.2.Determinarea restului în formula trapezului

Scriem formula de cuadratură

pe care o numim formula trapezului şi vom determina restul R presupunând că f(x) este continuă împreuna cu derivatele ei f'(x ) şi f"(x) în [a, b]. În general vom spune că f(x) aparţine clasei cn dacă ea este continuă în [a, b] împreună cu primele ei n -1 derivate. În acest caz f(x) aparţine clasei c3.