Interpolare Lagrange

1.1 Interpolare Polinominală

Fie o funcţie f. Presupunem că valorile acestei funcţii f au fost

obţinute direct: prin calcul , pe cale experimentală sau în alte moduri , într+un număr de puncte distincte x1,x2,.....xn.Pentru evaluarea valorii funcţiei în alte puncte nu este avantajos să se continue estimarea directă care poate fi prea costisitoare , este mai economic să se aproximeze această valoare folosind valorile calculate direct.

Cel mai simplu tip de aproximare este inetrpolarea prin care

funcţia aproximantă se alege în asa mod încît valorile ei în punctele x1,x2,.....xn să coincidă cu valorile funcţiei f.

Punctele x1,.....xn se sumesc în acest caz noduri de interpolare , iar

funcţia aproximantă se numeşte funcţie interpolatoare.

A.Sistemul Cebîşev

Se consideră spaţiul în care se caută aproximarea unui spaţiu liniar

m-dimensional generat de funcţiile :

Vom spune că aceste funcţii formează un sistem Cebîşev pe

intervalul [a,b] , dacă orice funţie din spaţiul generat de el nu poate avea m zerouri distincte în acest interval decît dacă este identic nulă.

În particular , polinoamele algebrice de grad cel mult m-1 au această proprietate.

Deci , funcţiile 1,x,x2,....,xm-1 sau orice altă bază a spaţiului polinoamelor de grad cel mult m-1 sunt sisteme Cebîşev pe orice interval de pe axa reală.Prin extensie în orice alt caz vom numi elemntele spaţiului generat de un sistem Cebîşev – polinoame generalizate.

Vom numi polinom generalizat de interpolare pe nodurile

din intervalul [a,b] pentru funcţia f definită pe acest interval , orice polinom generalizat care are în acste noduri aceleaşi valori cu funcţia f.

Teorema 1:

Pentru fiecare şir de n-noduri distincte din intervalul [a,b] şi fiecare funcţie f:[a,b] există un singur polinom generalizat de interpolare generat de un sistem Cebîsev de n funcţii pe intervalul [a,b].

Demonstraţie:

Fie - sistem Cebîşev pe intervalul [a,b] şi fie un polinom generalizat oarecare:

P(x)=

Impunem condiţiile de interpolare pe nodurile distincte x1,x2,....xn [a,b], obţinem:

(1)

Considerînd sistemul :

(2)

acesta nu poate avea decît soluţia banală, deoarece altfel s-ar contrazice definiţia sistemului Cebîşev.Deci determinantul coeficienţilor este nenul şi astfel sistemul (1) are soluţie unică.

Rezultă că polinomul de interpolare există şi este unic determinat.

Exemple de sisteme Cebîşev

Fie 0<t1<t2<….<tn ;I consider[m funcţiile :

(3)et1x , et2x ,.....,