Matematică sau artă - Numărul de aur

Traim inconjurati de numere zi de zi. Am putea crede ca Dumnezeu a cladit imensul univers prin prisma acestora. Pretutindeni, inevitabil, numerele sunt prezente in viata noastra, printr-o metamorfoza continua. Flora, fauna, apele, aerul, omul, intreaga lume artificiala, construita de cel din urma, se sprijina pe numere. Le vedem, le auzim, le mirosim, le constientizam. Iar unele dintre ele, in baza unor proprietati impresionante, devin superioare celorlalte, predominandu-le in universul inconjurator.

Un astfel de numar este si NUMARUL DE AUR. Controversat si complex, subiectul numarului de aur poate fi abordat din numeroase perspective: a stiintelor exacte, a artelor plastice, a arhitecturii, a biologiei etc. In articolul de fata ne vom rezuma la a studia prezenta acestui numar in pictura, prin intermediul asa numitei spirale de aur, realizand o succinta analiza a catorva tablouri renascentiste celebre, care apartin lui Leonardo da Vinci.

Articolul vizeaza o perspectiva interdisciplinara asupra artei, astfel vom incerca sa subliniem importanta prezentei stiintelor exacte, indeosebi a matematicii, in substratul artelor plastice.

Pentru a putea intelege sub ce forma numarul de aur apare in pictura, respectiv in artele viziuale, in general, si cum anume se construieste spirala de aur, este necesar sa parcurgem cateva informatii esentiale asupra numarului in cauza.

Ce este numarul de aur?

Aparut inca din Antichitate, acest numar este cunoscut sub o serie de denumiri: numarul de aur, raportul de aur, sectiunea de aur, proportia divina, acest ultim nume fiindu-i dedicat, prima data, intr-o carte ce dateaza din secolul al XVI-lea. Prima definitie clara a sa a fost data de parintele geometriei, Euclid din Alexandria, in jurul anului 300 i. Hr. Acesta a numit numarul de aur ca fiind simpla impartire a unui segment de dreapta in medie si extrema ratie. Iata explicatia exacta a ceea ce intelegem prin aceasta, data de insusi Euclid: ''Spunem ca un segment de dreapta a fost impartit in medie si extrema ratie atunci cand segmentul intreg se raporteaza la segmentul mai mare precum se raporteaza segmentul cel mare la cel mai mic''.

Asadar, cu notatiile din imagine, daca: (a+b)/a=a/b, spunem ca avem o taietura (sectiune) de aur, valoarea raportului fiind chiar numarul de aur. O definitie a lui, mai putin matematica, o ofera si Marcus Pollio Vitruvius, arhitect roman: ''pentru ca un intreg impartit in parti inegale sa para frumos, trebuie sa existe intre partea mica si cea mare acelasi raport ca intre partea mare si intreg'' .

In secolul al V-lea i.Hr., matematicianul grec Hipassus din Metapontum, a descoperit ca numarul de aur, notat cu litera greceasca ᵠ (phi) nu poate fi scris ca un raport de doua numere intregi, cu alte cuvinte, el nu este un numar rational, ci unul cu un numar infinit de zecimale, fara o regula in distributia lor: ᵠ=1,1.6180339887...

Apartinand clasei de numere irationale, o parte din phi va ramane mereu ascunsa gandirii umane. Cu toate acestea, de-a lungul timpului, omul a fost intrigat de descoperirea a cat mai multe zecimale ale acestui numar fabulos. In 1966, M. Berg a calculat primele 4599 de zecimale ale lui phi, iar 30 de ani mai tarziu, in decembrie, 1996, s-au obtinut primele 10 milioane de zecimale ale sale. O munca de acest fel, realizata cu ajutorul tehnologiei din perioadele respective, a durat aproximativ 20 de minute, in 1966 si 30 de minute, in 1996. Astazi, acest calcul poate fi efectuat pe calculatorul personal, in doar cateva secunde. In cartea ''Sectiunea de aur'', a lui Mario Livio, acesta apare scris pana la a 2000-a zecimala.

Sirul lui Fibonacci

Liantul spre intelegerea sectiunii de aur din prisma artelor vizuale este celebrul sir de numere al lui Fibonacci. Matematicianul italian Leonardo Pisano Bigollo (Leonardo din Pisa sau Leonardo Bonacci), cunoscut, ulterior, ca Leonardo Fibonacci, ori simplu, Fibonacci, a trait intre anii 1170 si 1250 si s-a remarcat in lumea matematicii datorita contributiilor sale aduse in acest domeniu: raspandirea sistemului de numarare hindu-arab in Europa, prin publicarea cartii ''Liber Abaci''(''Cartea de calcul''), cartea ''Practica Geometriae''(''Practica Geometriei)- un compendiu de geometrie si trigonometrie, cartea ''Flos''(''Floarea''), cartea ''Liber Quadratorum'' ( ''Cartea patratelor''), care surprinde subiectul ecuatiilor diofantiene, cartea ''Di minor guisa'', despre aritmetica comerciala.

Aceste merite l-au determinat pe Howard Eves sa il considere ca fiind ''cel mai talentat matematician din Occidentul Evului Mediu''. Insa, ceea ce corelam cel mai des cu numele lui este sirul de numere Fibonacci, sir pe care l-a folosit ca exemplu in cartea ''Liber Abaci''. In capitolul al XII-lea din ''Cartea de calcul'', Fibonacci propune urmatoarea problema: ''O pereche de iepuri este pusa intr-un spatiu inconjurat din toate partile de un zid. Cate perechi de iepuri se vor obtine intr-un an din aceasta pereche, daca se stie ca, in fiecare luna, fiecare pereche da nastere unei noi perechi de iepuri, care devine productiva incepand cu urmatoarea luna? ''