Metoda baleiajului ortogonal diferențial pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare

Motto O lucrare trebuie să fie precum fusta unei femei: nu prea lungă, ca să nu plictisească, dar suficient de scurtă ca să atragă atenţia.

Prefaţă

Extraordinara dezvoltare a tehnicii de calcul din ultima perioadă permite simularea

unui tot mai mare numar de probleme fizice, inginereşti sau economice. În paralel, a avut loc o dezvoltare a programelor disponibile fizicianului, inginerului sau economistului, oferindu-le o bogata gamă de algoritmi pentru rezolvarea unor aplicatii concrete. Utilizarea acestei bogătii de tehnici şi informaţii necesita însa, o baza teoretică solidă pentru a fi efectiv folosite.

Reprezentarea printr-un numar finit de cifre semnificative a numerelor în

calculator introduce dificultati extrem de mari în asigurarea condiţiilor pentru aplicarea unora din notiunile fundamentale ale matematicilor moderne, legate de procesul de trecere la limită, amendând astfel utilizarea eficientă a unor teoreme de bază din analiză. în schimb, se introduc erorile de rotunjire a căror propagare, în interacţie cu alte tipuri de erori (inerente sau de metodă) este greu de urmărit. Printre consecinţe, se poate întampla ca varainate echivalente teoretic (spre exemplu pe baza unor teoreme privind unicitatea soluţiei) să ducă,

numeric, la rezultate foarte diferite. Ca urmare, este explicabila tendinta de a se descoperi noi şi noi formule de calcul numeric, chiar dacă în esenţă (matematic) acestea diferă foarte puţin.

Lucrare prezintă algoritmi de soluţionarea a unui sistem de ecatii diferenţiale ordinare (ecuaţii diferenţiale algebrice cu conditii initiale la limite) care se bazeaza pe metoda baleiajului ortogonal.

Partea I reprezintă o scurtă introducere în ecuaţii diferenţiale.

Partea a II-a prezinta forma generală a problemelor la limită pentru ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul I.

În partea a III-a a lucrarii sunt exemplificate două metode ale baleiajului ortogonal, facând apoi o comparatie intre eficienta celor două metode.

1. Generalităţi

Ecuaţii diferenţiale ordinare

Definiţie. În matematică, o ecuaţie diferenţială ordinară este o ecuaţie diferenţială care descrie o relaţie prestabilită între o funcţie necunoscută, argumentele acesteia şi derivatele ordinare ale sale. În practică, se presupune de obicei că "funcţia necunoscută" există, deşi stabilirea riguroasă a acestui fapt poate cere noţiuni de topologie. Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este dat de derivata de cel mai mare ordin a funcţiei necunoscute.

Tipuri de ecuaţii diferenţiale ordinare :

-ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile:

-ecuaţii diferenţiale liniare:

-ecuaţii diferenţiale afine:

-ecuaţii diferenţiale omogene:

-ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli:

-ecuaţii diferenţiale de tip Riccati:

-ecuaţii diferenţiale implicite:

-ecuaţii diferenţiale de tip Lagrange:

-ecuaţii diferenţiale de tip Clairaut:

-ecuaţii diferenţiale de ordin superior

Importanţă.Multe legi ale fizicii au formulări diferenţiale.Ecuaţiile de miscare ale mecanicii clasice, ecuaţiile difuziei şi transportului de caldură, ecuatia lui Schrödinger etc.

Exemplu.Ecuatia de miscare a unei particule de masă m într-un câmp de forte F(x):

definind impulsul particulei

ecuatia de miscare → două ecuaţii de ordinul întâi (ecuaţiile lui Hamilton):

,

Este suficienta considerarea metodelor de rezolvare pentru ecuaţii sau sisteme de ecuaţii de

ordinul întâi.

Sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi:

Ecuaţie diferenţială de ordinul n,

considerând ca necunoscute.