Cuprins
- 1 Notiuni preliminare 4
- 1.1 Multimea numerelor naturale 4
- 1.2 Multimea numerelor ˆıntregi 12
- 1.3 Divizibilitatea numerelor 15
- 1.4 Congruente 19
- 2 Numere Prime 23
- 2.1 Definitie.Propriet˘ati de baz˘a 23
- 2.2 Infinitate multimii numerelor prime 24
- 2.3 Numere prime gemene 26
- 2.4 Ipoteza lui Goldbach 28
- 2.5 Ipoteza lui Gilbreath 30
- 3 Functii aritmetice. 32
- 3.1 Operatii cu functii aritmetice 32
- 3.2 Functia lui M¨obius: 33
- 3.3 Indicatorul ' a lui Euler: 34
- 3.4 Alte consideratii despre functiile aritmetice 35
- 4 Numere prime celebre 37
- 4.1 Numere perfecte 37
- 4.2 Numerele lui Mersenne 38
- 4.3 Numere prime Fermat 40
- 4.4 Numerele prime de forma nn + 1, nnn + 1 47
- 4.5 Descompunerea numerelor prime ˆıntr-o sum˘a de dou˘a p˘atrate 49
- 4.6 Descompunerea unui num˘ar prin ˆıntr-o diferent˘a de dou˘a p˘atrate si alte
- descompuneri. 55
- 4.7 Resturi p˘atratice 60
- 4.8 P˘atrate magice formate din numere prime. 63
- 4.9 Teorema lui Lagrange 64
- 4.10 Teorema lui Wilson 66
- 5 Distributia numerelor prime 68
- 5.1 Functia (x) 68
- 5.2 Inegalit˘atiile lui Cebˆısev 70
- 5.3 Postulatul lui Bertrand 77
- 5.4 Aplicatii ale Postulatului lui Bertrand 82
- 5.5 Functia (s) a lui Riemann 86
- 6 ˆIntrebuintari ale numerelor prime. 88
Extras din proiect
INTRODUCERE
Studiul numerelor prime face parte din teoria numerelor, ramura matematicii care include
studiul numerelor naturale. Numerele prime au fost subiectul a numeroase studii,
dar cˆateva ˆıntrebari fundamentale precum ipoteza Riemann ¸si ipoteza lui Goldbach au
r˘amas nerezolvate mai bine de un secol . Problema model˘arii distribut¸iei numerelor prime
este un subiect preferat de investigare a celor care studiaz˘a teoria numerelor: privite individual
numerele prime par a fi distribuite aleatoriu, dar distribuirea lor globala este
efectuat˘a respectˆand legi bine definite.
Exist˘a indicii ˆın dovezile r˘amase din Egiptul antic care arat˘a c˘a ace¸stia au avut
cuno¸stiint¸e despre numerele prime: fract¸iile egiptene de pe papirus au, de exemplu, forme
diferite pentru numere prime ¸si numere compuse. Totu¸si, cele mai vechi documente care
s˘a sust¸ina existent¸a studiului numerelor prime provin din Grecia antic˘a. Elementele lui
Euclid (300 IHr) cont¸in teoreme importante despre numerele prime, incluzˆand infinitatea
numerelor prime ¸si teorema fundamental˘a a aritmeticii. De asemenea Euclid a ar˘atat
cum se formeaz˘a un numar perfect dintr-un numar prim Marsenne. Ciurul lui Eratostene,
atribuit lui Eratostene, este o metod˘a simpl˘a de a g˘asi numere prime, chiar dac˘a in ziua
de azi la g˘asirea numerelor prime cu ajutorul calculatorului nu se procedeaz˘a astfel. Dup˘a
greci, studiul numerelor prime nu a progresat mult pˆana ˆın secolul 17. In 1640 Pierre de
Fermat a enuntat, fara sa demonstreze, teorema mica a lui Fermat (demonstratie ce avea
sa fie rezolvata mai tarziu de Leibnitz ¸si Euler).
Calug˘arul francez Marin Marsenne a investigat numerele prime realizate prin formula
2n − 1, n fiind num˘ar prim. Sunt numite numere prime Marsenne. Contribut¸ia lui Euler
la teoria numerelor a fost una ˆınsemnat˘a ˆın ce prive¸ste numerele prime. A ar˘atat c˘a seria
infinit˘a e divergent˘a. Se crede ca nu exist˘a nici un num˘ar perfect impar, dar ˆınc˘a nu exista
dovezi. Dupa ˆınceputul secolului 19, Legendre ¸si Gauss au formulat ˆın mod independent
ipoteza conform c˘areia x tinde spre infinitate, numarul de numere prime pˆan˘a la x este
asimptotic lui x/log(x), unde log(x) este logaritmul natural al lui x . Ideile lui Riemann
din lucrarea sa din 1859 despre funct¸ia zeta au schitat un program care va duce la o
demonstrare a teoremei numerelor prime.
Mult¸i matematicieni au lucrat la metode de testat numerele prime pentru numere mari,
adesea restrˆanse la formule de numere specifice . Aici putem include testul lui Pepin pentru
numere Fermat (1877), teorema lui Prot (ˆın jur de 1878), testul Lucas-Lehmer pentru
numere Mersenne (1856), ¸si testul generalizat Lucas-Lehmer. Algoritmi mai recent¸i precum
APRT-CL, ECPP si AKS funct¸ioneaz˘a cu orice num˘ar dar sunt mult mai lent¸i.
Lucrarea de fat¸˘a cuprinde 6 capitole :Not¸iuni preliminare unde am prezentat pe
scurt not¸iuniile necesare ˆın elaborarea temei lucr˘arii not¸iuni ca mult¸imea numerelor naturale
,mult¸imea numerelor ˆıntregi,divizibilitatea numerelor . Al doi-lea capitol se nume¸ste
Numere Prime.Dup˘a cum se ¸stie ,produsul a dou˘a numere naturale este ˆıntotdeauna
un num˘ar natural .Prin urmare exist˘a numere naturale care reprezint˘a produsul a dou˘a
numere naturale mai mari decˆat unitatea.Dar exist˘a de asemenea,numere naturale mai
mari decˆat unitatea :de exemplu 2, 3, 5 sau 13.Toate aceste numere le numim prime . Se
pune ˆıntrebarea dac˘a pentru orice num˘ar natural n > 1 avem posibilitatea s˘a stabilim
dac˘a este sau nu num˘ar prim .Un alt capitol ar fii Funct¸ii aritmetice unde am vorbit
despre funct¸iile aritmetice mai importante precum Funct¸ia lui M¨obius , Indicatorul lui
Euler. ˆIn urm˘atorul capitol prezent˘am Numere prime celebre precum numerele perfecte
. Se spune c˘a grecii aveau un respect foarte mare pentru aceste numere ¸si le numeau
”num˘arul limitat la el ˆınsu¸si”.Se zice c˘a Euclid ar fi ar˘atat c˘a dac˘a 2n − 1 este num˘ar
prim atunci 2n−1(2n −1) este num˘ar perfect . Pˆan˘a ˆın prezent nu s-a g˘asit nici un num˘ar
perfect care s˘a nu verifice condit¸ia lui Euclid . Tot aici vom mai vorbii ¸si despre numere
Mersenne , numere prime Fermat precum ¸si de p˘atrate magice formate din numere prime.
Distribut¸ia numerelor prime este capitolul unde vorbim despre (x) ,postulatul lui
Bertrand ¸si aplicat¸ii ale ale acestuia ˆIn ultimul capitol ne-am propus sa ar˘at˘am c˘a numerele
prime ˆısi au ¸si alte ˆıntrebuintari ˆın afara matematicii pure; ˆIn 1979 cand au fost
inventate conceptele criptografiei cu cheie public˘a numerele prime formau baza primilor
algoritmi precum algortmul de criptare RSA. Din 1951 cele mai mari numere prime au
fost descoperite de calculatoare. Cautarea unor numere prime chiar ¸si mai mari a generat
interes ¸si in afara ariei matematicii .
Pentru elaborarea lucr˘arii s-au utilizat 9 titluri bibliografice.
Capitolul 1
Not¸iuni preliminare
ˆIn acest capitol vom prezenta pe scurt not¸iunile necesare in elaborarea
temei lucr˘arii.Astfel sunt date mult¸imea numerelor naturale ¸si mult¸imea
numerelor ˆıntregi.
1.1 Mult¸imea numerelor naturale
Matematica utilizeaz˘a dou˘a metode pentru elaborarea conceptelor
sale : metoda constructiv˘a si metoda axiomatic˘a . Not¸iunii de num˘ar
natural,unul din conceptele fundamentale ale matematicii,i s-au dat atat
elabor˘ari constructive( adic˘a definirea conceptelor ce intervin ˆın teoriile
matematice pe o cale direct˘a),cˆat ¸si trat˘ari axiomatice(presupune conceptele
date apriori) . ˆIn acest capitol vom prezenta un mod de elaborare
axiomatic utilizˆand sistemul axiomatic al lui Peano.
Elementele mult¸imii N au fost construite.Num˘arul natural reprezint˘a clasa
mult¸imilor ˆıntre care se poate stabilii o corespondent¸˘a biunivoc˘a ¸si ˆın care
operat¸ia de num˘arare are un sfˆarsit.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Numere Prime.pdf
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Notiunea de transformare integralÎ Fie K(x, y) o functie continuÎ de douÎ variabile reale, K: I U fixatÎ, unde I este un interval pe...
INTRODUCERE Ca urmare a gradului înalt de abstracţie atins de matematică în secolul nostru, există o tendinţă în fiecare dintre noi de a căuta să...
INTRODUCERE Termenul de matrice a fost introdus de matematicianul englez James Joseph Sylvester(1814-1897) în lucrarea “On New Class of Theorems”...
INTRODUCERE Lucrarea tratează problema factorizării unei structuri algebrice sub cele doua forme posibile: - factorizarea structurii in raport cu...
INTRODUCERE Obiectul iniţial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăţilor numerelor întregi. Ca ramură a matematicii, teoria numerelor s-a...
Definitie: Fie o multime ale carei elemente le vom nota prin litere latine mici si le vom numi vectori. Fie de asemenea un corp ale carui...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Obiectul iniţial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăţilor numerelor întregi. Ca ramură a matematicii, teoria numerelor s-a...
Actualitatea temei Matematica întotdeauna a fost printe obiectele de bază predate nu doar în şcoala generală dar şi în şcoala auxiliară. Încă din...
Numerele ajunse celebre sunt acele numere care au intrat în istorie. Prin folosirea diferitelor cifre, evreii au căutat să descifreze voinţa...
1. Introducere Algoritmul RSA a fost publicat pentru prima oară în 1977 de R. Rivest, A. Shamir şi L. Adleman în revista “Scientific American” şi...
Argument Un limbaj de programare este un set bine definit de expresii și reguli (sau tehnici) valide de formulare a instrucțiunilor pentru un...
Dorința pentru această minunată carte, pe care am descoperit-o datorită profesoarei mele de psihologie a fost aceea de a cunoaște și înțelege...
Euristica Euristica este o categorie clasică încă de la Arhimede, ce exprimă bucuria descoperii ştiinţifice. Prin faptul că ştiinţa urmăreşte nu...