Proiect lecție - progresii aritmetice

Unitatea de invatare: Functii si siruri definite pe multimi de numere reale

Titlul lectiei: „Progresii aritmetice”

Tipul lectiei: Lectie de insusire, fixare si sistematizare de noi cunostinte,

Scopul lectiei: Consolidarea, aprofundarea si sistematizarea cunostintelor insusite, precum si aplicarea rapida si corecta a formulelor in rezolvarea problemelor

Competente generale:

- Formarea obisnuintei de a recurge la diferite tipuri de reprezentari a datelor cuprinse in enunturile matematice ca punct de plecare pentru intuirea si justificarea unor idei sau metode de rezolvare;

- Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite

- Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse in enunturi matematice

- Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete

- Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora

- Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii-problema

- Modelarea matematica a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunostintelor din diferite domenii

Competente specifice:

1. Recunoasterea unor corespondente care sunt functii, siruri, progresii

2. Utilizarea unor modalitati variate de descriere a functiilor in scopul caracterizarii acestora

3. Descrierea unor siruri/ functii utilizand reprezentarea aritmetica a unor cazuri particulare si rationamentul inductiv

4. Caracterizarea unor siruri folosind diverse reprezentari (formule, grafice) sau proprietati algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare in vederea determinarii formei analitice a unei functii definite pe N prin rationament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situatii problema in limbaj matematic utilizand functii definite pe N

7. Exprimarea caracteristicilor unor siruri folosind diverse reprezentari (formule, diagrame, grafice).

Competente derivate:

C1. Sa inteleaga notiunea de progresie aritmetice;

C2. Sa cunoasca formula termenului general;

C3. Sa determine primii termeni ai unei progresii aritmetice, cunoscand un termen si ratia;

C4. Sa exemplifice cazuri de utilizare a progresiei aritmetice si calcularea sumei primilor n termeni ai progresiei in cotidian;

C5. Sa cunoasca proprietatile progresiilor aritmetice si sa aplice in exercitii;

C6. Sa participe afectiv si activ la lectie;

C7. Sa-si dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

C8. Sa dea dovada de capacitatea de a lua decizii in mod independent;

Strategii didactice:

- Metode si procedee: conversatia, explicatia, exercitiul, invatarea prin descoperire, demonstratia, munca independenta si in echipa;

- Mijloace de invatamant: manualul, culegerea de probleme, fise de lucru, caiete de notite, fise de aplicatii si sistematizare;

- Forme de organizare: activitate frontala combinata cu activitate individuala si pe grupe.

- Procedee de evaluare : observatia sistematica a implicarii elevilor; analiza raspunsurilor primite; analiza si compararea produselor realizate de elevi; aprecierea corectitudinii rezolvarii aplicatiilor, aprecierea verbala / notarea activitatii elevilor.

Resurse:

a) Umane: clasa de nivel mediu, ce poseda cunostinte privind sirurile, ce necesita consolidare;

b) Oficiale: programa, planificare;

c) Spatiale: sala de clasa;

d) Temporale: durata unei ore de curs – 50 minute;

Desfasurarea activitatii

Nr crt Etapele lectiei Activitatea profesorului Activitatea elevilor Strategii didactice Modalitati de evaluare

1 Moment organizatoric

(2 min) Se creeaza conditiile optime pentru desfasurarea lectiei.

Se noteaza absentii.

Elevii vor avea pe banci caietele, manualul, culegerea.

Elevii raspund la prezenta. Conversatia

2 Captarea atentiei si verificarea cunostintelor (6 min) Verific prin sondaj tema, iar daca exista probleme nerezolvate, acestea se rezolva la tabla.

Verific titlul lectiei anterioare.

Se actualizeaza cunostintele teoretice necesare abordarii tematicii. Elevii colaboreaza la verificarea temei si indica exercitiile nerezolvate acasa.

Elevii comunica titlul lectiei anterioare:

„Siruri. Aplicatii cu Siruri”.

Fisa de lucru nr. 1 Conversatia

Lucru la tabla

Aprecieri verbale

3 Anuntarea titlului si a competentelor (2 min) Astazi ne propunem sa discutam despre Progresii aritmetice si sa consolidam cunostintele referitoare la aceste, prin exercitii si probleme. Elevii sunt atenti si noteaza titlul lectiei in caiete. Conversatia

4 Prezentarea noului continut si dirijarea invatarii

(16 min) A. Notiunea de progresie aritmetica

Definitie

Sirul pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din precedentul prin adaugarea aceluiasi numar rR, se numeste progresie aritmetica. Numarul r se numeste ratia proegresiei. Deci este progresie aritmetica daca avem relatia de recurenta si

! Observatii:

1. Pentru a verifica daca sirul este progresie aritmetica trebuie aratat ca diferenta a doi termeni consecutivi este constanta: constant=r,

2. O progresie aritmetica este bine determinata daca se cunosc primul termen a1 si ratia r.

3. Pentru a pune in evidenta ca sirul a1, a2, , an, este o progresie aritmetica se foloseste notatia ÷a1, a2, an

Ex. 1

Sa se determine primii patru termeni ai unei progresii aritmetice (an) daca: a1= -1; r= ;

B. Proprietatile progresiei aritmetice:

1. Monotonia: progresia aritmetica este un sir:

- strict crescator, daca ratia r >0;

- strict descrescator daca ratia r <0.

Demonstratie.

Din se deduce imediat proprietatea.

2. Formula termenului general.

Daca sirul este o progresie aritmetica avand primul termen si ratia r, atunci termenul general are forma

Demonstratie.

Ex. 2

Se da progresia aritmetica 5, 8, 11, 14 Sa se calculeze termenii de rang 30, 333, 2000, 3n+6.

3. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Fie (an) o progresie aritmetica si Sn=a1+a2+ +an suma primilor n termeni ai progresiei.

Teorema

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice (an) este data de formula:

Sn= ; n 1;

Demonstratie

Folosim metoda inductiei matematice.

Pentru n=1; S1=a1, egalitate adevarata. Fie k numar natural, k 1.

Presupunem ca propozitia este adevarata.

Sa aratam ca este o propozitie adevarata.

Avem Sk+1= a1+a2+ +ak+ak+1=Sk+ak+1= +

+ak+1= =

= =

= =

= ceea ce trebuia demonstrat.

Rezulta ca Sn= ; n 1;

! Observatii:

- Suma se poate exprima in functie de primul termen si ratia r, astfel

- Termenul general se poate exprima astfel ,

Ex. 3

Sa se determine suma primilor 100 de termeni ai progresiei aritmetice ÷2, 4, 6, 2n,

4. Sirul este o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a termenilor vecini lui, adica daca

! Observatii:

- Are loc relatia ceva mai generala

- Cu aceasta proprietate se poate scrie faptul ca numerele a, b, c sunt in progresie aritmetica (daca sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice) daca si numai daca

Ex. 4

Sa se arate ca numerele (a+x)2, (a2+x2), (a+x)2 sunt in progresie aritmetica

5. Daca numerele sunt in progresie aritmetica, atunci

,

Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egala cu suma numerelor extreme

Elevii sunt atenti, urmaresc prezentarea si scriu pe caiete definitiile

Solutie Ex. 1

ak=ak-1+r, k 2

a2=a1+r a2= ;

a3=a2+r a3=2;

a4=a3+r a4= ;

Solutie Ex. 2

a1=5; r =3; an=a1+(n-1)r

a30=5+29.3=92;

a333=5+332.3=1001;

a2000=5+1999.3=6002;

a3n+6=5+(3n+5).3=9n+20

Solutie Ex. 3

a1=2; r =2;

a100=a1+ (n-1)r=200

Sn= ;

S100=

Solutie Ex. 4

a1=(a+x)2, a2=(a2+x2), a3=(a+x)2;

a2=

a1,a2,a3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Conversatia

Activitate

frontala

Explicatia

Expunerea

Activitate

individuala

Descoperirea

Activitate

frontala

Explicatia

Activitate

frontala

Exercitiul

Activitate

individuala

Activitate

Individuala

Explicatia