Structuri Geodezice

GLOSAR

POLIEDRU – din greacă POLYHEDRON, POLY – (mai) multe, HEDRON – faţă (suprafaţă plană), corp mărginit de mai multe suprafeţe plane;

POLIEDRU CONVEX sau EULERIAN – dacă segmentul care uneşte două puncte oarecare ale poliedrului conţine numai puncte din interiorul acestuia;

TEOREMA LUI EULER – dacă v este numarul vârfurilor, f numărul feţelor şi m numărul muchiilor unui poliedru convex, atunci: v + f – m = 2 ;

POLIEDRU REGULAT – suprafaţa acestuia se compune numai din poligoane regulate congruente (se mai numeşte şi poliedru platonic);

Există numai cinci poliedre regulate convexe, pentru că suma unghiurilor formate de muchiile care se întâlnesc într-un vârf trebuie să fie mai mică decat 360˚. Feţele poliedrului pot fi triunghiuri echilaterale, pătrate sau pentagoane regulate:

POLIGONUL

FEŢEI

NR. FEŢELOR

CARE SE

ÎNTÂLNESC

ÎNTR-UN VÂRF

NUMĂRUL

DENUMIREA

POLIEDRULUI

FEŢELOR

MUCHIILOR

VÂRFURILOR

Triunghi echilateral

3

4

6

4

TETRAEDRU

Triunghi echilateral

4

8

12

6

OCTAEDRU

Triunghi echilateral

5

20

30

12

ICOSAEDRU

Pătrat

3

6

12

8

CUB

Pentagon regulat

3

12

30

20

DODECAEDRU

Aceste poliedre pot fi înscrise în sfere ale căror centre coincid cu centrele acestor corpuri. Sfera circumscrisă trece prin toate vârfurile poliedrului. Perpendicularele ridicate în centrul feţelor trec prin centrul poliedrului sau al sferei circumscrise.

CALOTĂ SFERICĂ – un plan taie o sferă după un cerc, împărţind suprafaţa sferică în două calote sferice. Aceste calote sunt egale dacă planul trece prin centrul sferei;

CERC MARE – intersecţia unui plan ce trece prin centrul unei sfere cu sfera respectivă;

PUNCT GEODEZIC – punct de pe suprafaţa terestră (suprafaţă sferică) a cărui poziţie este precis stabilită;

LINIE GEODEZICĂ – curba mai scurtă decât orice altă curbă situată pe aceeaşi suprafaţă şi trecând prin aceleaşi puncte (puncte geodezice);

TRIUNGHI GEODEZIC – triunghi ale cărui vârfuri sunt puncte geodezice, iar laturile sunt linii geodezice;

CUPOLĂ – partea de formă semisferică, poligonală sau eliptică care alcătuieşte acoperământul unei structuri spaţiale;

SINERGIE – funcţiunea, proprietatea unui întreg (sistem) prin asocierea, cooperarea părţilor (elementelor) care îl formează;

NUMĂRUL DE AUR – (numit şi proporţia de aur, secţiunea de aur, proporţia divină, numărul lui Phidias) număr iraţional cu valoarea (√5 + 1)/2, (aproximativ 1,618033989), notat deseori cu Ø sau phi. Această proporţie se foloseşte din cele mai vechi timpuri în arhitectură sau artă ca un raport al frumuseţii perfecte. Unul din acele numere misterioase, ca ∏ şi e, care par a fi născute din structura de bază a Universului. Phi apare clar şi regulat în fenomenele naturale de creştere.

INTRODUCERE

Prezentul studiu încearcă un răspuns la întrebarea “Cum s-ar putea realiza o structură spaţială (cu diverse utilizări, de exemplu locuinţă) ieftină, eficientă, rezistentă, sigură, estetică, uşor şi rapid de construit, accesibilă unui număr cât mai mare de beneficiari ?”. În acest sens, cupola geodezică - o reţea de triunghiuri care aproximează o calotă sferică – poate fi o provocare interesantă.

Deşi Walter Bauersfeld a proiectat şi construit, în 1922, prima cupolă geodezică la atelierele de optică Carl Zeiss din Jena-Germania, (re)inventarea acesteia, in 1947, este atribuită americanului Richard Buckminster Fuller (1895-1983), inginer, matematician, poet, cosmolog, filozof, considerat geniul arhitecturii secolului XX.

O incursiune foarte scurtă în vasta operă a acestuia este, poate, utilă pentru a plasa subiectul într-un context care să îl facă mai bine înţeles.

În eseul “Guinea Pig B”, scris cu câteva zile înainte de a se stinge din viaţa pe care o priveşte retrospectiv ca pe un experiment, Buckminster Fuller –“Bucky”- relatează că timp de peste cincizeci de ani, renunţând la prejudecăţi şi practici tradiţionale, a încercat să privească lucrurile într-un mod natural pentru a descoperi principii care guvernează Universul, aplicabile problemelor cu care se confruntă omenirea, în folosul efectiv al acesteia şi nu în cel al marilor state, religii sau întreprinderi private, oricât de bogate sau puternice ar fi.

“SYNERGETICS – Explorations in the Geometry of Thinking” (SINERGETICA – Explorări în geometria gândirii), lucrare editată de Fuller în 1979, este una din cele mai clare şi cuprinzătoare tentative de a explica, prin geometrie, Universul si fenomene ce îl guvernează, legând limbajul stiinţific de unul comun. Sinergia este definită ca însuşirea unui sistem integral, care nu poate fi intuită cunoscând însuşirile elementelor constitutive luate separat (Synergetics – Section 101.01, 102.00). Ruperea unui subiect în părţi, pentru a fi studiate separat, nu duce la înţelegerea cuprinzătoare a totului – “natura are un singur departament şi un singur limbaj”. Aşa cum au descoperit chimiştii, o demonstraţie de sinergie este modul în care se comportă atomii sau moleculele când sunt separate dintr-un compus, ceea ce nu explică comportamentele asociate, părând a fi vorba despre “energii pierdute” (Synergetics – Section 106.00).

Aritmetic, un triunghi + un triunghi = două triunghiuri. Într-o asociere spaţială pot determina ceva fundamental: un tetraedru – poliedru cu patru feţe - un sistem, o împărţire a Universului în interior şi exterior. Acum, sinergic, un triunghi + un triunghi = patru triunghiuri (Synergetics – Section 108.02, 108.03). După Fuller, tetraedrul este baza tuturor structurilor spaţiale existente, sistemul elementar (minimal) prin a cărui geometrie se poate explica totul, de la atom la galaxie (Synergetics – Section 402.02).

Cuvântul tensegritate (tensegrity) este obţinut prin comprimarea expresiei integritate tensională şi descrie modelul care rezultă atunci când a trage (pull) şi a împinge (push) (tracţiune-compresie, respingere-atracţie) se află într-o relaţie reciproc avantajoasă (Synergetics – Section 700.01). Percepţia, aproape generală, este că cele două forţe se află în opoziţie (spre interior – spre exterior, în spate – în faţă), dar ele sunt complementare, găsindu-se întotdeauna împreună. Un exemplu este balonul de cauciuc (sau balonul de fotbal – “Bucky ball” – o membrană sferică alcătuită din hexagoane albe şi pentagoane negre): moleculele de aer împing discontinuu (divergent) membrana întinsă continuu (convergent), forţele aflate în echilibru (tensegritate) menţinând balonul umflat, făcându-l foarte rezistent (se ştie că este destul de greu de spart). Toate structurile geodezice sunt caracterizate de tensegritate chiar dacă acest lucru este sau nu perceptibil (Synergetics – Section 794.01).

Cupolele geodezice sunt, din punct de vedere intelectual, foarte atractive. Este posibilă realizarea unei structuri spaţiale de dimensiuni mari prin repetarea unor elemente de dimensiuni mici. Forma structurii depinde doar de câteva elemente individuale şi de modul în care acestea sunt asamblate, rezultând pur şi simplu din procesul de construcţie, nefiind nevoie de măsurători precise. Elementele individuale formează triunghiuri, care sunt sistemul de bază a stabilităţii structurale. Un triunghi poate fi distorsionat numai prin schimbarea dimensiunilor laturilor, în timp ce orice alt poligon poate să-şi schimbe forma prin alterarea unghiurilor sale. Din această cauză structurile geodezice sunt foarte rezistente (dacă în punctele geodezice ar avea atomi de carbon ar fi mai dure decât diamantul – aşa numitele cristale fullerene C60, sintetizate prima dată după anul 1990) şi uşoare comparativ cu construcţiile clasice rectangulare.