Vectori Proprii și Valori Proprii

INTRODUCERE

Termenul de matrice a fost introdus de matematicianul englez James Joseph Sylvester(1814-1897) în lucrarea “On New Class of Theorems” publicată în 1850 din nevoia de a obţine o structură tabelară diferită de cea de determinant. Acest moment a determinat o nouă dinamică în istoria matematicii.

Valoriile proprii au constituit una din metodele standard ale ştiinţelor matematice din ultimul secol şi jumatate. De la apariţia calculatoarelor, au devenit un instrument standard şi pentru calculul ştiinţific. De exemplu, unul dintre cele mai folosite pachete software de calculul numeric este EISPACK, o colecţie de subrutine Fortan legate de matrice şi valori proprii, care este utilizat în întreaga lume de la apariţia sa, la mijlocul anilor 70.

Valorile proprii sunt folosite din trei motive. Din punct de vedere algoritmic dacă o matrice sau un operator liniar pot fi diagonalizaţi, problema se va reduce la o bază de funcţii proprii si soluţiona , eventual, mai repede. Din punct de vedere fizic, valorile proprii pot furniza informaţii despre comportarea unui sistem a cărui evoluţie este guvernată de o matrice sau un operator. În particular ele pot da informaţii despre rezonanţă, instabilitate şi comportare la limită. În cele din urmă există un punct de vedere psihologic pentru utilizarea valorilor proprii, mare parte din creierul uman este specializat în procesarea informaţiei vizuale, iar valorile poprii că pot completa noţiunea abstractă de matrice sau operator printr-o imagine grafică din lanul complex.

Spectrele (mulţimea valorilor proprii) sunt, în unele aplicaţii cele mai bune furnizoare pentru informaţiile despre o matrice sau un operator. Valorile proprii reprezintă un capitol deja consacrat al algebrei liniare. Dincolo de importanţa lor teoretică, pentru pracrică o mai mare însemnatate o au algoritmi dezvoltaţi în acest domeniu. Din acest punct de vedere, în ultimele 3-4 decenii cercetările au fost îndreptate pentu ca aceste metode numerice să ofere rezultate cât mai precise în timp cât mai scurt, iar studiul poate continua.

Elaborarea acestei lucrări a fost făcută cu sprijinul domnului Conf.Dr. Ilie Stan, căruia ţin să îi multumesc pe această cale.

CAPITOLUL I

MATRICE ŞI OPERATORI LINIARI

I.1 INTRODUCERE

Presupunem că { } este baza unui -spaţiu vectorial peste corpul şi pentru orice avem . Atunci vectorul de coordonate al lui , faţa de baza { }, se poate scrie sub forma:

Amintim că aplicaţia determinată de baza { }, este un izomorfism determinat de la la spaţiul ".

În acest capitol se arată că există şi un izomorfism determinat de baza { } din algebra a operatorilor liniari pe , respectiv pe algebra de matrici pătratice de ordinal n pe .

I.2MATRICEA UNUI OPERATOR LINIAR

Considerăm un operator liniar pe spaţiu vectorial peste corpul , iar { } o bază a lui . sunt vectori în , deci fiecare din este o combinaţie liniară a elementelor bazei :

Definiţie: Transpusa matricei cu coeficienţii menţionaţi mai sus, notată cu sau este reprezentarea matriceală a lui în baza { }.

Exemplul I.1: Considerăm spaţiul vectorial al polinoamelor în de grad 3, cu coeficienţi în şi operatorul diferenţial definit de (p( ))d . Calculăm maticea lui în raport cu baza {1, }: