Modelări Numerice în Teoria Contactului Elastic

INTRODUCERE

Modelele matematice care descriu diverse fenomene fizice se prezinta, în general, sub forma unor ecuatii sau sisteme de ecuatii diferentiale, cel mai adesea, cu derivate partiale, ecuatii integrale sau integro-diferentiale. Problemele concrete conduc la necesitatea determinarii unei solutii particulare care sa verifice anumite conditii initiale si la limita, date astfel încât sa asigure existenta si unicitatea solutiei cautate. Integrarea problemelor la limita prin metode analitice este aplicabila unor probleme simple; ca urmare, la probleme complexe, se impune cu necesitate alternativa modelarii numerice. În esenta, modelul matematic care descrie fenomenul studiat este discretizat si, în locul solutiei exacte, se determina parametrii modelului în anumite puncte prestabilite. Problema contactului dintre doua corpuri elastice este un domeniu de cercetare foarte important pentru tribologie. Ca urmare, teza îsi propune sa realizeze o sinteza privind conceptele teoretice, tehnicile si metodele utilizate în rezolvarea problemelor contactului elastic si sa aduca noi contributii în acest domeniu.

Teza este structurata pe zece capitole, fiind completata cu douasprezece anexe si referinte bibliografice din literatura de specialitate.

Primul capitol pune în evidenta cadrul teoretic general în care se înscrie tema tezei, prezentându-se ipotezele si ecuatiile fundamentale ale Teoriei Elasticitatii liniare. Având în vedere importanta pe care o are conceptul de semispatiu elastic în teoria contactului, în continuare sunt tratate unitar problemele clasice ale acestui corp: problema lui Boussinesq, problema lui Cerruti, problema combinata Boussinesq-Cerruti, problema lui Flamant si principiul suprapunerii efectelor la semispatiul elastic. Se evalueaza efectele distributiilor continue de sarcini pe unele regiuni ale planului limitrof: fâsii infinit lungi, de latime constanta si aria unor conice închise. Cu privire la rezolvarea problemelor de contact elastic, sunt evidentiate: conditia de deformatie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limita ale semispatiului elastic si metode specifice de rezolvare. În finalul capitolului se realizeaza o sinteza a clasificarii contactelor întâlnite în literatura de specialitate, functie de criteriile avute în vedere de diversi autori.

Al doilea capitol debuteaza cu precizarea metodelor (directa, inversa si semi-inversa) de rezolvare a problemelor de elastostatica. În continuare sunt prezentate conditiile definitorii si relatiile analitice care exprima elementele contactului hertzian punctual, respectiv liniar, precum si o sinteza cronologica privind alte abordari analitice ale problemelor de contact. În partea a doua a capitolului, se prezinta stadiul actual al modelarii numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenta clasele de metode numerice utilizate: metoda de integrare directa, metoda diferentelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontiera, metoda împerecherii punctelor, metode partiale, metode si tehnici rapide.

Cel de-al treilea capitol este destinat modelarii numerice a contactului elastic normal, pe baza metodei coeficientilor de influenta  varianta clasica. Se pun în evidenta contributii proprii privind: discretizarea domeniului estimat de contact, variante ale modelului numeric, algoritmi si proceduri automate pentru determinarea elementelor contactului elastic.

Validarea modelarii numerice propuse, prin rezultate analitice si experimentale existente, este realizata în capitolul al patrulea al tezei. S-au avut în vedere atât contacte hertziene (paraboloid eliptic - paraboloid eliptic, sfera  sfera, elipsoid  semispatiu elastic, cilindri de raze distincte si axele perpendiculare, corpuri marginite de suprafete toroidale), cât si nehertziene (contact pe vârf conic, contact conform circular, contactul dintre corpuri marginite de suprafete omogene de gradul patru). Rezultatele modelarii numerice sunt concordante cu cele analitice deduse de Hertz, Shtaerman, Ciavarella, Diaconescu, respectiv, experimentale obtinute de Glovnea si Diaconescu.

În capitolul al cincilea, se propune extinderea ariei de contact, pentru determinarea elementelor contactului elastic, ca varianta a metodei coeficientilor de influenta. Deosebirea principala fata de metoda clasica consta în aceea ca aria reala de contact se construieste din puncte aflate cu siguranta în contact, iar extinderea ei se face treptat prin adaugarea de noi puncte care îndeplinesc anumite conditii. Pentru validarea algoritmului si a codului calculator, asociate extinderii ariei de contact, se considera atât contacte hertziene, cât si nehertziene. În finalul capitolului se realizeaza o analiza a rezultatelor obtinute pe baza aplicarii celor doua metode, comparativ cu cele analitice.

Capitolul al saselea al tezei aduce contributii privind analiza numerica a contactului liniar de lungime finita. Se studiaza efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic. Au fost modelate urmatoarele solutii de atenuare a efectului de capat: bombarea completa, bombarea partiala, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc. Validarea s-a realizat pe baza rezultatelor numerice obtinute de catre Hartnett si J. de Mul. Pentru contactul liniar de lungime finita, Glovnea si Diaconescu studiaza, experimental, pe baza tehnicii de profilometrie cu laser, efectul racordarii asupra ariei de contact. Concordanta dintre rezultatele modelarii numerice propusa în teza si masuratorile experimentale arata ca metoda de investigare experimentala prin profilometrie cu laser poate fi aplicata cu succes acestui tip de contact si, în acelasi timp, valideaza codul calculator asociat.

Determinarea numerica a starii de tensiuni la contactul elastic normal este subiectul celui de-al saptelea capitol. În debutul capitolului sunt prezentate expresiile analitice ale componentelor starii de tensiuni la contactele de tip hertzian (eliptic, circular, liniar), în puncte aflate pe aria de contact, în adâncime sau pe axa centrala a contactului. Au fost elaborate coduri calculator în mediul de programare Matlab, iar rezultatele numerice sunt comparate cu cele determinate pe cale analitica. În cazul contactului dintre doua corpuri marginite de suprafete omogene de gradul patru, în lipsa unor solutii analitice, validarea rezultatelor s-a realizat pe baza a doua tipuri de determinari numerice. Particularitatile starii de tensiuni sunt cele cunoscute din literatura de specialitate.

Al optulea capitol este destinat determinarii numerice a starii de tensiuni la contactul elastic cu sarcina normala si tangentiala. Validarea rezultatelor se face în cadrul contactului sferic cu alunecare. Solicitarea tangentiala orientata dupa axa x este uniform distribuita pe celula si direct proportionala cu sarcina normala, printr-un coeficient de frecare constant, fixat. Modelarea propusa are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime si pe axa centrala a contactului; starea de tensiuni datorata sarcinii normale, fortei tangentiale orientata pe directia axei x si efectul cumulat al celor doua solicitari; analiza comparativa a rezultatelor obtinute în procesul modelarii; concordante grafice ale modelarii.

În capitolul noua se prezinta metoda gradientului conjugat si transformata Fourier rapida în rezolvarea problemelor de contact elastic. În teza au fost analizate urmatoarele probleme de contact: sfera  sfera, forma simplificata si forma integrala a profilului Lundberg, alte aplicatii precum contactul dintre corpuri marginite de suprafete Cassini sau suprafete Peano. Se evidentiaza avantajul utilizarii unui numar mare de noduri, ceea ce face ca metoda sa fie aplicabila si la contactul suprafetelor rugoase.