Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov

Proiect
8/10 (1 vot)
Domeniu: Mecanică
Conține 1 fișier: docx
Pagini : 57 în total
Cuvinte : 15571
Mărime: 1000.47KB (arhivat)
Cost: 10 puncte
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Viorel Goanta

Cuprins

Capitolul 1. Procese stohastice şi lanţuri Markov.5

1.1 Noţiuni şi definiţii generale.5

1.2 Clasificarea stărilor unui lanţ Markov.7

1.3 Lanţuri Markov în timp discret.8

1.4 Lanţuri Markov în timp continuu.8

1.5 Agregare markoviană.9

1.6 Procese semi-Markov.10

1.7 Proprietăţi de bază ale lanţurilor Markov.13

1.8 Lanţuri Markov regulate.14

1.9 Rezolvarea numerică a lanţurilor Markov.15

Capitolul 2. Analiza structurală bazată pe utilizarea lanţurilor Markov.17

2.1. Modele probabilistice de studiu a fiabilităţii bazate pe lanţuri Markov.17

2.2. Algoritm de rezolvare a unui fenomen redat prin lanţul Markov.24

2.3. Exemple de realizare a lanţurilor Markov.25

Capitolul 3. Procese Markov.30

3.1. Procesul general de naştere şi moarte.31

3.2. Procesul de naştere pură.33

Capitolul 4. Modele de aplicare a lanţurilor Markov.39

4.1. Programul Toolkit şi Analiza de tip Markov.39

4.1.1.Prezentarea programului Toolkit.39

4.1.2 Crearea unui proiect Markov.40

4.1.3 Analiza rezultatelor.48

4.2. Un model de predicţie a vremii probabile.51

4.3. Un model de predicţie a funcţionării unui sistem mecanic format din trei componente.52

4.4. Funcţionarea unui sistem format dintr-un calculator, o imprimantă şi un plotter.55

Extras din document

Rezumat

Lucrarea intitulată „Modele de predicţie a funcţionării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanţurilor Markov” este structurată pe patru capitole şi prezintă, pe langă partea teoretică a proceselor stochastice de tip lanţ Markov şi aplicaţii practice ale acestora.

Capitolul 1 numit Procese stochastice şi lanţuri Markov cuprinde noţiuni teoretice privind Lanturile Markov, care, au fost denumite după matematicianul rus Andrei Markov. Într-un proces Markov, la fiecare moment sistemul îşi poate schimba sau păstra starea, în conformitate cu o anumită distribuţie de probabilitate. Schimbările de stare sunt numite tranziţii. Un exemplu simplu de proces Markov este parcurgerea aleatoare a nodurilor unui graf, tranziţiile fiind trecerea de la un nod la unul din succesorii săi, cu probabilitate egală, indiferent de nodurile parcurse până în acel moment. Practica oferă numeroase exemple, în care anumite valori caracteristice ale unui sistem, formând aşa numitele stări discrete ale sistemului, variază o dată cu timpul, astfel încât ele nu pot fi prevăzute cu exactitate. Un asemenea proces, în care una sau mai multe valori caracteristice lui variază aleator în timp, îl numim “proces stochastic”. Procesele stochastice permit modelarea matematică a numeroaselor component ale sistemelor tehnice, informatice, economice, sociale etc.

În acest capitol urmează sa fie redate succint principalele definiţii şi proprietăţi ale proceselor stochastice şi ale lanţurilor Markov (LM), clasificarea acestora în conformitate cu modul cum ele sunt "vizitate" în cursul timpului funcţionării lanţului. De asemenea, este prezentată şi noţiunea de agregare Markoviană, ce constă în a partiţiona spaţiul de stări Ω ale unui lanţ în subansambluri (Ωk)k=1,.,K în aşa mod încât, comportamentele de stări ale unor şi aceleaşi Ωk , să fie stochastic echivalente. În practică se întâlnesc deseori şi sisteme dinamice cu stări discrete, pentru care durata de aflare într-o oarecare stare i, fiind o variabilă aleatoare, depinde de această stare şi de starea următoare de trecere şi ea nu este necesar distribuită conform legii exponenţial-negative. Evoluţia sistemului este astfel definită de starea curentă şi de starea ce urmează. Acest tip de procese stochastice sunt numite procese semi-Markov.

Deoarece lanţurile Markov sunt procese stochastice, nu se poate şti cu exactitate ce se întâmplă în fiecare stare; de aceea, sistemul trebuie descris în termeni de probabilitate.

Capitolul 2 numit Analiza structurala a lanturilor Markov prezintă modele probabilistice de studiu a fiabilităţii bazate pe lanţuri Markov pe baza caroră funcţionarea oricărui element al unui sistem mecanic se caracterizează printr-o succesiune de stări care descriu regimurile de funcţionare normale sau de avarie. Datorită naturii probabilistice a stărilor prin care trece instalaţia respectivă, se poate admite că evoluţia procesului este descrisă de un proces aleatoriu. Evoluţia procesului respectiv este definită de o familie de variabile care descriu traiectoria procesului. Cunoaşterea stărilor sistemului la momentele consecutive t1, t2,.,tn, anterioare lui t, contribuie la cunoaşterea stării în momentul t prin colectarea unor informaţii referitoare la starea din momentele anterioare, dar cuprinse toate în starea cea mai recentă, respectiv starea din momentul tn. Trebuie ţinut cont de faptul că, în general, un sistem poate ajunge într-o anume stare prin mai multe succesiuni de stări, modul în care sistemul respectiv a ajuns aici influenţând funcţionarea sa ulterioară, şi deci şi indicatorii care caracterizează fiabilitatea sistemului pentru momentul tn. Procesul care are o asemenea evoluţie, caracterizată de faptul că, starea în care va trece sistemul depinde atât de starea în care se găseşte acesta cât şi de modul în care sistemul a ajuns în această stare, se numeşte proces Markov. De asemenea, în acest capitol se mai prezintă şi algoritmul de rezolvare a unui fenomen redat prin lanţul Markov, şi exemple de realizare a lanţurilor Markov cum ar fi: un studiu de caz ce presupune prognozarea numărului de produse vândute de către cele mai mari companii de telefonie mobilă pe piaţa din România, pe baza datelor din ultima perioadă, prognozare care se va baza pe utilizarea lanţurilor Markov.

Capitolul 3 este numit Procese Markov. Aici se prezintă faptul că procesele Markov sunt caracterizate prin aceea că, apariţia unei anumite stări este condiţionată doar de un număr determinat de stări anterioare. Dacă numărul acestor stări anterioare este r, atunci este vorba de un proces Markov de ordinul r.

Procesele Markov de ordinul 1 ocupă un loc important în studiul proceselor de trafic ce caracterizează reţeaua de telecomunicaţii în ansamblul ei. Procesele de naştere şi moarte ca subclasă importantă a proceselor Markov de ordinul 1 se adaptează perfect modului de apariţie şi deservire a traficului în sistemul global de telecomunicaţii. Aceste procese sunt caracterizate de un spaţiu discret de stări şi de un parametru temporal continuu.

Pe langă partea teoretică a proceselor Markov, în acest capitol sunt prezentate şi patru aplicaţii ale acestor procese.

Capitolul 4 numit Programul Toolkit şi Analiza de tip Markov, prezinta programul Toolkit şi modul de utilizare a acestuia, crearea unui proiect Markov, ce foloseste modulul ITEM Toolkit Markov pentru a modela şi analiza un sistem simplu de două componente de aşteptare. Sistemul constă din două componente identice care operează în modul de „aşteptare la cald”. Se presupune că cedările asociate componentei de aşteptare nu sunt detectate până când nu este se pune o întrebare în acest sens. Deasemea, în acest capitol, se prezintă şi alte aplicaţii necesare înţelegii modului de aplicare şi utilizare a lanţurilor Markov în predicţia funcţionării sistemelor dinamice.

Capitolul 1. Procese stohastice şi lanţuri Markov

În matematică, un proces Markov, sau un lanţ Markov, este un proces stohastic care are proprietatea că, dată fiind starea sa prezentă, stările viitoare sunt independente de cele trecute. Această proprietate se numeşte proprietatea Markov. Cu alte cuvinte, starea curentă a unui astfel de proces reţine toată informaţia despre întreaga evoluţie a procesului. Lanţurile Markov au fost denumite după matematicianul rus Andrei Markov. Într-un proces Markov, la fiecare moment, sistemul îşi poate schimba sau păstra starea, în conformitate cu o anumită distribuţie de probabilitate. Schimbările de stare sunt numite tranziţii. Un exemplu simplu de proces Markov este parcurgerea aleatoare a nodurilor unui graf, tranziţiile fiind trecerea de la un nod la unul din succesorii săi, cu probabilitate egală, indiferent de nodurile parcurse până în acel moment. Practica oferă numeroase exemple în care, anumite valori caracteristice ale unui sistem, formând aşa numitele stări discrete ale sistemului, variază o dată cu timpul, astfel încât, ele nu pot fi prevăzute cu exactitate. Un asemenea proces în care una sau mai multe valori caracteristice lui variază aleator în timp îl numim “proces stohastic”.

Noţiuni şi definiţii generale

Procesele stohastice permit modelarea matematică a numeroaselor componente ale sistemelor tehnice, informatice, economice, sociale etc.

În cele ce urmează vom reda succint principalele definiţii şi proprietăţi ale proceselor stohastice şi ale lanţurilor Markov (LM).

Definiţia 1.1. Un proces stohastic X este o familie de variabile aleatoare(X_τ )_τϵτ definite pe acelaşi spaţiu de probabilitate cu valori reale, în acelaşi spaţiu de valori Ω şi indexate după un parametru τ∈τ⊆R.

Un proces stohastic se reprezintă prin:

{Xτ∈Ω,τ∈τ} (1.1)

De obicei, precizarea mulţimii τ coincide cu intervalul de timp al evoluţiei diverselor clase de procese stohastice. Astfel, dacă τ ={τ1,τ2,.,τn} este o mulţime finită, atunci procesul stohastic este echivalent cu un vector aleator, care determină vectorul de stare al sistemului studiat.

În termeni probabilistici, a descrie evoluţia unui proces stohastic înseamnă cunoaşterea probabilităţilor tuturor evenimentelor de forma: "la momentul τ procesul stohastic se găseşte în starea (Xτ=x)", precum şi a probabilităţilor de realizare simultană a unui număr de astfel de evenimente pentru diverse momente τi∈τ şi diverse mulţimi ei⊆R, 1≤i≤n. Cu alte cuvinte, este necesar să fie cunoscute probabilităţile de forma:

Pr(Xτ1∈e1,.,Xτn∈en) (1.2)

pentru orice n∈N, orice τi∈τ şi orice ei⊆R, 1≤i≤n. Acest fapt se manifestă prin cunoaşterea funcţiilor de repartiţie n – dimensionale:

Bibliografie

1. Gh.Mihoc, C.Bergthaller, V.Urseanu. Procese stochastice,elemente de teorie si aplicatii. Ed.Stiintica si pedagogica. 1978.

2. I.Gh.Sabac : Matematici Speciale 2. Ed. Tehnica. 1977.

3. Emilia Gutulan. Lanturi si sisteme de asteptare markoviene: Elemente teoretice si aplicatii. Ed Universitatea tehnica a moldovei Chisinau 2010

4. Analiza structurala – Lanturi Markov – Laborator 10

5. Modelare si simulare Seminar 3 http://www.tc.etc.upt.ro/teaching/ms-ap/MS%20SEMINAR%203.pdf

6. Platforma de e-learning si curriculara e-content pentru invatamantul superior ethnic. Ingineria calculatoarelor – O abordare din punct de vedere fiabilistic a stiintei calculatoarelor- Lanturi Markov http://andrei.clubcisco.ro/cursuri/f/f-sym/3ic/IC_6.pdf

Preview document

Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 1
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 2
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 3
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 4
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 5
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 6
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 7
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 8
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 9
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 10
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 11
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 12
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 13
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 14
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 15
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 16
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 17
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 18
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 19
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 20
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 21
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 22
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 23
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 24
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 25
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 26
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 27
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 28
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 29
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 30
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 31
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 32
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 33
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 34
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 35
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 36
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 37
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 38
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 39
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 40
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 41
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 42
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 43
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 44
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 45
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 46
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 47
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 48
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 49
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 50
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 51
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 52
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 53
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 54
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 55
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 56
Modele de predicție a funcționării unui sistem mecanic pe baza aplicării lanțurilor Markov - Pagina 57

Conținut arhivă zip

  • Modele de predictie a functionarii unui sistem mecanic pe baza aplicarii lanturilor Markov.docx

Alții au mai descărcat și

Studii și Cercetari Privind Implementarea Conceptului TPM în Industria Auto din România

1. INTRODUCERE Necesitatea de a realiza activităţi de mentenanţă porneşte de la faptul că există procese de uzură. Uzura este un proces tehnic,...

Detectarea Defectelor

I. ARGUMENTUL Conceptele de defect şi defectare sunt generale şi au o arie de cuprindere practică foarte largă. Ca urmare, pentru o analiză...

Studiul privind Reabilitarea Pieselor prin Încărcare cu Sudură

1. Necesitatea reabilitării structurilor mecanice. În condiţiile producţiei industriale moderne, maşinile, utilajele şi instalaţiile trebuie să...

Utilizarea aplicației EXCEL în vederea optimizării problemelor de transport

1. Introducere Problemele de transport apar frecvent în situaţiile în care trebuie planificat modul de distribuire al bunurilor de la producători...

Indicatori de fiabilitate

1. Aspecte generale Calitatea produselor şi serviciilor este indicatorul de bază al unei industrii sau economii. Fiabilitatea fiind alături de...

Proiectarea procesului tehnologic și matriță sau ștanță pentru o piesă cilindrică

Sa se proiecteze procesul tehnologic si stanta sau matrita pentru obtinerea piesei din figura 1. Materialul utilizat este TDA3 ( tabla decapata...

Fiabilitate

1.Notiuni introductive - Tipul activitatilor din ciclul de fabricatie si de utilizare a produsului In cazul productiei de serie mare activitatile...

Mentenanța și fiabilitatea mașinilor -1-

1.1 Noiuni generale Fiabilitatea este o caracteristic` de calitate, ce ast`zi reprezint` una dintre principalele cerine ale beneficiarilor....

Ai nevoie de altceva?