Analiza varianței și planuri experimentale în agricultură

ANALIZA VARIANȚEI BIFACTORIALĂ COMPLETĂ

NEBALANSATĂ ÎN POPULAȚII OMOGENE

În populația statistică luăm ca obiect de studiu un caracter măsurabil Z față de care exemplarele populației au media .

Fie alte două caractere X,Y asociate cu exemplarele populației, caracterul X având m variante (doze, nivele, tratamente) notate X(1),...,X(m), iar caracterul Y având n variante (doze, nivele, tratamente) notate Y(1),...,Y(n).

Caracterele X, Y se numesc factori și constituie criterii de clasificare dublă a populației în mn subpopulații (straturi) ce corespund perechilor de variante (X(i), Y(j)), mediile pe subpopulații relativ la caracterul Z fiind (i,j) (i=1, , m; j=1, ,n).

Diferențele (X,Y)(i,j) = (i,j)- se numesc efecte principale ale perechii de factori (X,Y) în subpopulații. Avem (X,Y)(i,j)=0

Subpopulațiile se presupun normale cu mediile (i,j) și aceeași varianță - 2(E) în raport cu caracterul Z.

Extragem în mod întâmplător din subpopulații mn sondaje (probe, eșantioane) de volume p(i,j) (i=1, ..., m; j=1, ...n).

Datele reletiv la caracterul Z, din aceste sondaje le numim repetiții, (replicate) și le notăm cu Z(i,j,k) (i=1, ., m; j=1, ..., n; k=1, ...,p(i,j)).

Forma generală a modelului liniar este:

Z(i,j,k)= +X(i)+ Y(j)+X.Y(i,j)+e(i,j,k)

unde e(i,j,k) sunt variabile aleatoare normale, independente două câte două cu media 0 și varianța - 2(E).

Reunim toate subpopulațiile care corespund variantei X(i) fixate pentru orice j=1, ., n.

Exemplarele din această reuniune vor avea față de caracterul Z media:

X(i)=(1/n). (i,j), iar efectul principal al variantei X(i) este :

X(i)=X(i)- . Avem X(i)=0.

În mod analog se reunesc subpopulațiile ce corespund variantei Y(j) fixate pentru orice i=1, ..., m.

Exemplarele din această reuniune au față de caracterul Z, media Y(j)=(1/m). (i,j), iar efectul principal al variantei Y(j) este: Y(j)= Y(j)-.

Avem Y(j)=0.

Cantitatea:

X.Y(i,j)= (i,j)-X(i)-Y(j)+ se numește efectul principal al interacțiunii variantei X(i) cu varianta Y(j).

După modul de alegere al subpopulațiilor după X și Y, avem trei tipuri de modele :

a) Model cu efecte fixe

În acest caz ambii factori X, Y definesc efecte constante X(i), Y(j), X.Y(i,j).

Ipotezele care se verifică sunt:

1) HX: X(1)= ...=X(m)= față de alternativa HX: X(1)≠ ...≠X(m)≠  sau sub altă formă: HX: X(i)=0 față de alternativa HX: X(i) ≠0.

2) HY: Y(1)= ...=Y(n)=  față de alternativa HY:Y(1)≠ ...≠Y(n)≠  sau sub altă formă: HY: Y(j)=0 față de alternativa: HY: Y(j) ≠0.

3) HX.Y: (i,j)= X(i)+ Y(j) față de alternativa HX.Y: (i,j) ≠ X(i)+ Y(j) sau sub altă formă: HX.Y: X.Y(i,j)=0 față de alternativa: HX.Y: X.Y(i,j) ≠0.

b) Model cu efecte aleatoare :

În acest caz ambii factori definesc efecte aleatoare : X(i) sunt variabile aleatoare N(0; - 2(X)), Y(j) sunt variabile aleatoare N(0; - 2(Y)), iar X.Y(i,j) sunt variabile aleatoare N(0; - 2(X.Y)).

Ipotezele care se verifică sunt:

1) HX: - 2(X)=0 față de HX: - 2(X) ≠0

2) HY: - 2(Y)=0 față de HY: - 2(Y) ≠0

3) HX.Y: - 2(X.Y)=0 față de HX.Y: - 2(X.Y) ≠0.

c) Modelul mixt:

În acest caz unul din factori, de exemplu X, este cu efecte fixe, iar cel de-al doilea Y este cu efecte aleatoare.

Efectele X(i) sunt constante și ipoteza care se verifică este:

1) HX: X(i)=0 față de HX: X(i) ≠0

Efectele Y(j) sunt variabile aleatoare de tip N(0; - 2(Y)) și ipoteza care se verifică este :

2) HY: - 2(Y)=0 față de HY: - 2(Y) ≠0

Efectele X.Y(i,j) sunt variabile aleatoare de tip N(0; - 2(X.Y)) și ipoteza care se verifică este:

3) HX.Y: - 2(X.Y)=0 față de HXY: - 2(X.Y) ≠0.