Proiectarea sistemului de suspensie folosind locul rădăcinilor

Proiectarea sistemului de suspensie folosind locul radacinilor

Vrem sa proiectam un controler cu reactie astfel încât perturbatiile drumului (W) sunt simulate de un semnal de intrare treapta, iesirea (X1-X2) au un timp de stabilizare mai mic de 5 secunde si o supradepasire mai mica de 5%.

Vom reprezenta modelul sistemului prin urmatorul program :

m1=2500;

m2=320;

k1 = 80000;

k2 = 500000;

b1 = 350;

b2 = 15020;

nump=[(m1+m2) b2 k2]

denp=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2]

num1=[-(m1*b2) -(m1*k2) 0 0]

den1=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2]

numf=num1;

denf=nump;

Pentru proiectarea controlerului vom folosi metoda locului radacinilor.

Prima oara vom verifica polii buclei deschise a sistemului :

R=roots(denp)

Matlab va returna :

R =

-23.9758 +35.1869i

-23.9758 -35.1869i

-0.1098 + 5.2504i

-0.1098 - 5.2504i

Asadar, polii dominanti vor fi -0.1098+/-5.2504i, care sunt apropiati de axa complexa cu o mica ratie de amortizare.

Reprezentarea locului radacinilor

Metoda proiectarii prin locul radacinilor este de a estima raspunsul comenzii cu bucla de reactie din locul radacinilor corespunzator comenzii fara bucla de reactie. Prin adaugare de zero-uri si/sau poli sistemului original (folosind un compensator), locul radacinilor si raspunsul circuitului cu bucla de reactie vor fi modificate. Sa studiem, mai întâi, locul radacinilor pentru circuitul de comanda. Acest lucru se realizeaza prin comenzile

rlocus(nump,denp)

z=-log(0.05)/sqrt(pi^2+(log(0.05)^2))

sgrid(z,0)

A trebuit ca supradepasirea, %OS, sa fie mai mica decât 5% si ratia de amortizare, zeta, poate fi aproximata din ecuatia z = -log (%OS/100)/sqrt(pi^2+[log(%OS/100)^2]).

Observam ca sunt doua perechi de poli si de zerouri care sunt foarte apropiate. Aceste perechi se situeaza aproape pe axa imaginara si ar putea face sistemul sa fie la marginea stabilitatii, ceea ce ar putea fi o problema. Trebuie sa facem ca polii si zerourile sa se mute în jumatatea stânga a planului cât mai departe, pentru a evita un sistem instabil. Trebuie sa punem cele doua zerouri foarte aproape de cei doi poli pe pe axa imaginara a sistemului necompensat pentru anularea lor. Mai avem nevoie si de doi poli pe axa reala pentru a obtine un raspuns rapid.

Adaugarea unui filtru de taiere

Vom avea nevoie, probabil, de doua zerouri lânga cei doi poli pe axa complexa pentru a trasa locul radacinilor, lasând acei doi poli la zerourile compensatorului în loc de zerourile comenzii pe axa imaginara. Vom avea nevoie si de doi poli îndepartati spre stânga pentru a trage locul radacinilor spre stânga. Vom avea nevoie, pentru acest lucru, de un filtru de taiere. Daca punem zerourile 30 si 60 si polii la 3+/-3.5i, putem analiza comportarea circuitului cu urmatorul program: