Rețele Petri Temporizate Folosite în Modelarea și Controlul unui Centru de Comenzi Prin Telefon

I. Noţiuni teoretice

Definite de către Carl Adam Petri în anii 1960 în teza sa de doctorat, retelele Petri au abilitatea de a generaliza teoria automatelor, reprezentând o metodă formală / matematică pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite)

Unul dintre modelele matematice folosite pentru modelarea sistemelor reale secvenţiale era acela al automatelor finite, sau altfel spus al sistemelor tranzitionale de tip stare-acţiune. Pornind de la aceste modele secvenţiale, C.A. Petri a avut ideea de modelare a sistemelor paralele şi distribuite prin divizarea stării sistemului în anumite elemente care să caracterizeze stările locale ale subsistemelor constituente, un element putând face parte din mai multe stări locale (exemplu resurse partajabile – harddisk, imprimantă, etc) şi prin caracterizarea evoluţiei sistemului printr-o execuţie concurenta a unor tranziţii locale.

Primul model, şi cel mai simplu, a fost cel al retelelor Petri de tip C/E (reţele conditie/eveniment), model care poate surprinde doar aspectul calitativ al sistemelor (sau fenomenelor) modelate.

Modelul imediat următor elaborat a fost cel al retelelor Petri de tip P/T (reţele poziţie/tranziţie), care au fost introduse ca o generalizare a reţelelor de tip C/E : ele pot surprinde si aspectul cantitativ al sistemelor modelate: locaţiile retelei pot contine mai multe puncte (până la un număr maxim precizat, numit capacitatea locaţiei), spre deosebire de reţelele C/E a căror locaţii pot contine cel mult un punct.

Pentru a putea modela sisteme cu o complexitate sporită prin reţele nu prea complicate, deci uşor de studiat, următoarea idee a fost să se considere ca punctele din locaţii au ataşat câte un tip dintr-o mulţime fixata de tipuri (sau sorturi/culori) , deci pot fi diferentiate între ele, locaţiile putând conţine puncte din fiecare tip. Astfel s-au introdus reţelele Petri de nivel înalt: reţele Pr/E (retele predicat/eveniment), reţele Pr/T (retele predicat/tranziţie), reţele relationale şi reţele colorate.

O reţea Petri se compune dintr-un tip particular de graf orientat notat cu N şi o stare iniăială Mₒ, denumită marcaj iniţial. Graful N al reţelei Petri este orientat, ponderat şi bipartit, constând din două tipuri de noduri, denumite poziţii sau locaţii si respectiv tranziţii; arcele pleaca fie de la o poziţie la o tranziţie, fie de la o tranziţie la o poziţie.

Ca simbolizare grafică, poziţiile se reprezintă prin cercuri, iar tranziţiile prin bare sau dreptunghiuri. Arcele sunt etichetate cu ponderile lor (valori întregi, positive); un arc cu ponderea k poate fi privit ca o mulţime de k arce paralele cu o pondere unitară. Etichetele pentru pondere unitară se omit în reprezentările grafice uzuale. Într-o astfel de reţea, condiţiile procesului numite locaţii, împreună cu evenimentele care se produc numite tranziţii, formează prin intermediul unor arce un graf bipartit orientat.

O reţea Petri se poate defini ca un cvintuplu, PN=(P, T, F, W, Mₒ), în care:

• P={p1,p2,….pm} este o mulţime finita de poziţii;

• T={ t1,t2,….tn} este o mulţime finite de tranziţii;

• F (PxT) U (Tx P) este o mulţime de arce;

• W:F →{1,2,3…} este o funcţie de ponderare a arcelor;

• Mₒ: P→{ 1,2,3…} este o funcţie de marcaj iniţial.

Reţele Petri cu tranziţii temporizate

Se spune că o reţea Petri este cu tranziţii temporizate sau temporizată T, dacă fiecărei tranziţii ti, i=1, ..., n, i se asociază un interval de timp di ≥ 0, prin intermediul unei funcţii de temporizare tip T (tranziţie).

Fig. 1 Ilustrarea executării unei tranziţii temporizate

În ceea ce priveşte funcţionarea reţelei Petri temporizate T, intervalele de timp di≥0 joacă rolul unor întârzieri ce se manifestă după cum urmează: din momentul când tranziţia ti este validată, un număr de ai-j jetoane vor rămâne rezervate (nedisponibile din punctul de vedere calitativ, logic, al aplicării regulii tranziţiei) în poziţia pj care precede ti pentru di unităţi de timp, înainte de deplasarea lor prin executarea tranziţiei ti. (Reamintim că aij- notează ponderea arcului de la poziţia pj la tranziţia ti, fiind elementul generic al matricei de incidenţă de intrare A- ). Ilustrăm cele spuse mai sus prin reprezentarea grafică din fig.1 pentru ai-j =1 şi M0 ( pj ) = 2 . Jetonul rezervat este figurat ca un cerc, iar cel nerezervat ca un disc.