Transformata Fourier a semnalelor

Teoria controlului sistemelor are doua domenii principale:

- domeniul frecventei;

- domeniul timpului.

Transformata Fourier realizeaza legatura dintre aceste 2 domenii, transformand domeniul timp in domeniul frecventei. Astfel se obtin: amplitudinea si faza.

f(t) : R —> R

Observatie: Seria Fourier - Orice functie periodica poate fi reprezentata ca o suma infinita de termeni sinus si cosinus.

Conditiile Dirichlet:

1. Functia sa prezinte un numar finit de puncte de minim si maxim;

2. Numarul discontinuitatilor sa fie finit;

3. Discontinuitatile sa fie marginite

Transformata Fourier este asemanatoare cu transformata Laplace.

De exemplu, pentru :

-functie de transfer(Laplace) , avem urmatorul corespondent in transformata Fourier:

Pentru a trece din domeniul frecventei in domeniul timpului se foloseste transformata Fourier inversa F-1. Astfel trece in f(t).

Deoarece in urma transformarii se obtine un numar complex rezulta o proprietate a transformatei Fourier. Aceasta spune ca orice transformata Fourier are o amplitudine.

Astfel, pentru:

Ridicand la patrat se obtine:

Observatie: pentru o tensiune continua nu vom avea frecventa.

FFT – Fast Fourier Tranform (Transformata Fourier Rapida)

Transformata Fourier are o arie de utilizare foarte extinsa. De exemplu, primul succes în analizarea automata a EEG a fost introducerea algoritmului transformatei Fourier rapida (Fast Fourier Transform) în anul 1965, care este o dezvoltare a transformatei Fourier (FT). Transformata Fourier îndeplineste criteriul predictiei si realizeaza o categorie de informatii – distributia spectrala a energiei semnalului. Cu toate acestea, FT poate duce la erori statistice si este influentata sever ca urmare a presupunerii ca semnalul este ori infinit, ori periodic în afara ferestrei de masurare. Totusi, pâna acum, FFT este principala metoda de procesare a semnalelor, folosita pentru analiza semnalelor biomedicale.

Programul prezentat realizeaza transformata Forier pentru diferite semnale: sin(x), cos(x), exp(x), log(x), x2 si sume de sinusuri.

Peste unele dintre aceste semnale se suprapun si diferite zgomote aleatoare.

Se reprezinta grafic atat forma semnalului cat si cea a zgomotului.

close all;

clear all;

meniu=0;

while(meniu~=8)

meniu=menu('Alegeti semnalul:','1 - sin(x)','2 - sin(x)/x','3 - 5sin(x)+2sin(7x))','4 - cos(x)','5 - x^2','6 - 2exp(x)','7 - 2lg(x)','iesire');

%---------------sinus------------------ figura 1

if (meniu==1)

close all;

t = 0:0.001:0.6; %timpul

x = sin(2*pi*50*t); %semnalul

y = x + 1.2*randn(size(t)); %zgomotul care se suprapune peste semnal

Y = fft(y,512); %transformata fourier

subplot(2,2,1);

plot (x(1:60),'g-'); %semnalul

xlabel('semnalul sinusoidal');

subplot(2,2,2);

plot (y(1:60),'r-');%zgomotul

xlabel('zgomotul care se suprapune');

subplot(2,2,3);

Y = fft(y,512);

Pyy = Y.* conj(Y) / 512;

f = 1000*(0:256)/512;

plot(f,Pyy(1:257))

subplot(2,2,4);

Y = fft(y,512);

Pyy = Y.* conj(Y)/512;

f = 1000*(0:256)/512;

stem(f,Pyy(1:257))

end;

%------------sin(x)/x------------------------- figura 2

if (meniu==2)

close all;

x=[];

y=[];

for i=1:512,

x(i)=i*2*pi/512;

y(i)=sin(x(i))/x(i);

end;

subplot(2,1,1);

plot(y,'g-');%semnalul

xlabel('semnalul sin(x)/x');

YY=fft(y);

subplot(2,2,3);

plot(abs(YY(1:64)),'r-')

subplot(2,2,4);

stem(abs(YY(1:64)),'b*')

end;

%---------5sin(x)+2sin(7x)------------------- figura 3

if(meniu==3),

close all;

x=[];

y=[];

for i=1:512,

x(i)=i*2*pi/512;

y(i)=5*sin(x(i)) + 2*sin(7*x(i)); % functia

end;