Fractali. Spațiu fractal. Dimensiune fractală

Introducere

“Se pare ca nimeni nu este indiferent fata de fractali. De fapt, multi

privesc prima lor întâlnire cu geometria fractala ca o experienta

cu totul noua, atât din punct de vedere estetic, cât si stiintific.”

Benoit Mandelbrot - "Frumusetea fractalilor", 1986

Rigla si compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate în studiul geometriei, al carei parinte este considerat si în ziua de azi Euclid din Alexandria, înca din secolul IV î. Hr.

Stim cu totii ca geometria euclidiana este un ansamblu de leme, corolare, teoreme si demonstratii, care foloseste doar patru notiuni fundamentale: punct, dreapta, plan si spatiu, si care se bazeaza pe cele cinci axiome, enuntate de Euclid în cartea sa "Elementele". Orice obiect al muncii omului era scufundat si reprezentat în spatiul 1D, 2D, 3D. Dar Natura, în imensa ei complexitate, nu s-a limitat la a construi corpuri geometrice doar în acest spatiu atât de particular, a carui masura este un numar întreg si mai mic decât 3.

Privind în natura, observam imagini imposibil de îndesat într-o viziune euclidiana, precum conturul coastei Normadiei, al crestei muntilor, al norilor, chiar si brocolli si conopida, care nu pot fi construite si definite geometric la fel de usor.

Aparitia calculatorului a permis patrunderea în acest univers în care rigla si compasul nu mai sunt suficiente pentru reprezentarea unor obiecte prea complexe pentru a putea fi integrate într-o lume geometrica. Acesta este universul fractalilor, definit in 1975 odata cu aparitia primei carti a lui Mandelbrot: "Les objects fractales, forme, hasard et dimension".

Fiind primele forme geometrice nebazate pe linii drepte sau liniarizabile, fractalii au fost considerate ciudatenii si abandonate de matematicieni caci erau dezordonat de complexe. Neliniari, deci imposibil de construit prin linii neîntrerupte, este nevoie de calculator pentru a fi trasati.

Mandelbrot, considerat "Parintele geometriei fractale", a inventat si numele de "fractal", care vine din latinescul "frangere" - a sparge în fragmente neregulate. El nota patetic: "Deoarece "algebra" deriva din cuvântul arab "jabara" (a lega împreuna), între cuvintele "fractal" si "algebra" este o contradictie etimologica."

Din nefericire pentru aceia dintre noi carora le place sa controleze lucrurile, mare parte din lumea naturala nu se conformeaza cu usurinta ecuatiilor liniare. Formele neliniare, "fractale", sunt mai degraba regula decât exceptie. Asa cum spunea Benoit Mandelbrot în cartea sa "Geometria fractala a naturii": "Norii nu sunt sfere, muntii nu sunt conuri, liniile de coasta nu sunt cercuri, iar scoarta copacilor nu e neteda...". Tehnicile noastre matematice au repurtat un mare succes în prezicerea fenomenelor exceptionale, care sunt aproape liniare, cum ar fi traiectoriile pro 10110h71k iectilelor, planetelor si particulelor. Subiecte mai haotice (si imediat folositoare) cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor si dinamica formativa au înselat constant previziunile.

Fractalii nu ofera în mod neaparat speranta ca putem controla aceste fenomene înselatoare. Din contra, începem sa întelegem ca haosul si imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse în natura decât ne-am imaginat vreodata. Oricum, fractalii ne ofera instrumente puternice pentru modelarea si vizualizarea sistemelor neliniare. În majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul si structura lumii reale mult mai usor si mai succint decât cu formele liniare.

Ce sunt fractalii?

Scurt istoric

"În ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul."

James Glick, "Haos", 1986

Asa cum am mentionat mai sus, Euclid a construit o geometrie bazata pe logica si pe niste adevaruri intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta si planul (axiome):

1. Prin oricare doua puncte distincte trece o dreapta si numai una;

2. Orice segment de dreapta poate fi prelungit la infinit (sub forma unei drepte);

3. Dat fiind un segment de dreapta, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele segmentului si care are segmentul drept raza;

4. Toate unghiurile drepte sunt congruente;

5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singura paralela la acea dreapta.

În geometria euclidiana, trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul, iar patru puncte necoplanare determina un spatiu. Simplu si logic. Observatiile nu au avut nici un rol în gândirea euclidiana.

Aproape doua milenii mai târziu, în 1600, Rene Decartes a zguduit geometria euclidiana, sugerând ca spatiul fizic poate fi disecat si masurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localizând astfel fiecare punct din spatiu prin trei dimensiuni liniare. Ideea ca Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburi mici a format fundamentul stiintei moderne asupra lumii.

Un secol mai târziu, Gottfried Wilhelm Von Leibniz si Sir Isaac Newton au dus lucrurile mai departe, facând o presupunere periculoasa si revolutionara, pe care nu au putut-o demonstra matematic initial, si anume ca orice curba este de fapt un numar infinit de segmente de dreapta (numite tangente). Astfel, ei au inventat calculul diferential. Ideea de baza a acestuia este ca orice curba marita la infinit se aseamana din ce în ce mai mult cu o dreapta, iar limita acestui proces este tocmai linia cu care ar semana curba la infinit. Leibniz nu a putut sa îsi explice însa de ce teoria lui dadea rezultate în majoritatea cazurilor, dar uneori ducea la nepotriviri neasteptate. Desi chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapta infinitezimal, ea a ramas în folosinta dând rezultate în majoritatea cazurilor. Presupunerea ca, la infinit, curbele de fapt sunt similare dreptelor, ramâne în picioare, desi aparitia iminenta a unor forme imposibil de supus liniaritatii avea sa zguduie iar matematica.

Fig. 1.1. - Aproximarea curbelor cu linii tangente

Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deşi greşise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens).

Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor si Helge von Koch au creat primii fractali, in general ca exerciţii abstracte, neavând nici o idee despre semnificatia lor.

Abia în 1872 a apărut o funcţie al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcţie cu proprietatea că este continuă, dar nediferenţiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiţia abstractă şi analitică a lui Weierstrass, a dat o definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se numeşte astăzi fulgul lui Koch(Pentru a crea un fulg Koch, se începe cu un triunghi echilateral şi se înlocuieşte treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente astfel încât să se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se execută aceiaşi paşi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. Cu fiecare iteraţie, perimetrul acestei figuri creşte cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui număr infinit de execuţii ale acestor paşi, şi are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită. De aceea, fulgul Koch şi construcţiile similare sunt numite uneori "curbe monstru.