Rețele bayesiene

I. Introducere. Modelul probabilistic Bayesian

Metoda Bayesiana de calcul probabilistic a fost introdusa de preotul Thomas Bayes in secolul al XVIII-lea. Aceasta forma de rationament se bazeaza pe utilizarea probabilitatilor conditionate ale unor evenimente specifice in prezenta producerii unor alte evenimente. In teoria probabilitatilor, notiunea de eveniment este o notiune primara; evenimentele se considera numai din punctul de vedere al producerii sau al neproducerii lor in decursul unui experiment. Evenimentul contrar unui eveniment A, notat cu ~A, este evenimentul care se produce atunci si numai atunci cand nu se produce evenimentul A.

Definitie. Probabilitatea unui eveniment incert A este masura gradului de plauzibilitate al producerii acelui eveniment. Multimea tuturor evenimentelor posibile se numeste camp de evenimente sau spatiu de esantioane, notat in continuare cu S.

Definitie. O masura a probabilitatii unui eveniment A este o functie care pune in corespondenta orice eveniment din S cu numere reale si care satisface urmatoarele axiome ale teoriei probabilitatii:

(1) pentru orice eveniment

(2)

(3) Daca , pentru , i.e. sunt evenimente mutual exclusive, atunci

Definitie. Pentru doua evenimente h si e, cu probabilitatea , probabilitatea conditionata a evenimentului h in conditiile producerii evenimentului e, este definita prin urmatoarea formula

(1)

Probabilitatea conditionata de producere a evenimentului e in conditiile producerii evenimentului h se defineste simetric prin formula

(2)

Din ecuatiile (1) si (2) rezulta una dintre regulile modelului Bayesian, si anume

(3)

Considerind doua evenimente A si ~A care sunt mutual exclusive, i.e. , si exhaustive, i.e. , probabilitatea de aparitie a unui eveniment B se poate exprima astfel:

(4)

Utilizind aceasta formula, ecuatia (3) poate fi rescrisa obtinindu-se urmatoarea formula pentru probabilitatea conditionata de aparitie a evenimentului h in conditiile producerii evenimentului e.

(5)

Ecuatia (5) poate fi generalizata pentru un numar arbitrar de evenimente , independente si mutual exclusive, in conditiile producerii evenimentului e, astfel:

(6)

si deci

(7)

Evenimentele hi pot fi vazute ca ipoteze probabile, numite si ipoteze statistice, in conditiile existentei probei e. Probabilitatile condititionate ale ipotezelor hi in conditiile existentei probei e pot fi utilizate in modelarea rationamentului incert pentru a selecta ipoteza cea mai probabila in conditiile unei probe observate. In cazul in care exista surse multiple de probe, deci , formula (7) se defineste ca mai jos, obtinandu-se teorema lui Bayes:

(8)

Considerind exemplul diagnosticarii medicale, selectarea unei ipoteze hi dintr-o multime de ipoteze pe baza unei multimi de probe observate poate fi vazuta ca selectarea unui diagnostic hi pe baza probelor clinice . In aceasta interpretare, evenimentele si probabilitatile lor conditionate au urmatoarea semnificatie:

- este multimea probelor clinice considerate

- hi este al i-lea diagnostic considerat ( )

- este probabilitatea ca pacientului sa i potriveasca diagnosticul hi

- este probabilitatea ca pacientul sa aiba diagnosticul hi pe baza probelor clinice e

- este probabilitatea ca sa existe toate probele clinice e daca diagnosticul hi este adevarat, deci probabilitatea ca pacientul sa aiba totalitatea simptomelor e (simptomatologie completa) daca i se pune diagnosticul hi.

Teorema lui Bayes data de formula (8) ofera o modalitate de calcul al diagnosticului probabil al unui pacient in conditiile cunoasterii probelor clinice e. In cazul in care exista mai multe ipoteze plauzibile si mai multe surse de probe, formula (8) poate duce la calcule extrem de complicate. Daca se presupune ca sunt probe independente, calculul probabilitatii se poate face ca mai jos, ducand la o simplificare a formulei (8).