Observabilitate

Observabilitatea sistemelor continue

Problema observabilitatii consta in determinarea starii initiale x_0 a unui sistem Σ , cunoscand semnalele exterioare : intrarea u(t)∈R^m si iesirea y(t)∈R^p.

Consideram sistemul :

Σ:{█(x ̇(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) -ecuatia de stare (1)@y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t) -ecuatia de iesire (2))┤

Fie ϕ(t,t_0) matricea fundamentala a matricei A(t).Scriem aplicatia intrare-iesire a sistemului Σ , care da iesirea produsa de starea initiala x_0∈R^n si comanda u(t) .

y_(x_0 ) (t)=C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0+∫_(t_0)^t▒C(t)ϕ(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) (3)

Fixam un interval [t_0,t_1]⊂R.

Definitia 1.1: Spunem ca starea x_0∈R^n este neobservabila pe interval [t_0,t_1] daca starea initiala x_0 produce aceeasi iesire ca si starea initiala 0 ̅∈R^n pentru orice comanda u(t).

Din (3) – iesirea produsa de produsa de starea initiala 0 ̅

y_0 ̅ (t)= ∫_(t_0)^t▒C(t)ϕ(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) (4)

Rezulta deci, ca x_0 este neobservabila pe [t_0,t_1] ⇔y_(x_0 ) (t)=y_0 ̅ (t),∀t∈[t_0,t_1] pentru orice comanda y_(x_0 ) (t)-y_0 ̅ (t)=0 ̅⇔C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0=0 ̅ pentru orice ∈[t_0,t_1] .

Propozitia 1.1: Starea x_0∈R^n este neobservabila pe interval [t_0,t_1 ]⇔

C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0=0 ̅,∀t∈[t_0,t_1] (5)

Definitia 1.2: Se numeste gramianul de observabilitate a sistemului Σ=(A,C) , matricea

O(t_0,t_1 )=∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 ) 〗 dt⇒

█( @O(t_0,t_1 ) )^T=∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 ) 〗 dt=O(t_0,t_1 )⇒

O(t_0,t_1 ) este matrice constanta, simetrica.

Propozitia 1.2:Starea x_0 este neobservabila pe interval [t_0,t_1 ]⇔O(t_0,t_1 ) x_0=0 ̅ (6)

Demonstratie:

"⇒" Presupunem ca x_0 este neobservabila ⇒are loc (5) .

Atunci

O(t_0,t_1 ) x_0≝∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0 dt=〗 0 ̅ ,deoarece

C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0=0 ̅

""⇐" " Presupunem ca are loc (6) . Inmultim egalitatea (6) la stanga cu 〖x_0〗^T

⇒∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖x_0〗^T 〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0 dt=〗 0

Notam cu 〖w(t)〗^T=〖x_0〗^T 〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T si cu w(t)=C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0⇒

∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖w(t)〗^T w(t)dt=〗 0⇒∫_(t_0)^(t_1)▒〖 ‖├ w(t)┤‖┤dt=〗 0⇒‖├ w(t)┤‖┤=0⇒w(t)=0 ̅⇒C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0=0 ̅,∀t∈[t_0,t_1 ] □(⇒┴P_1 )x_0 este neobservabila pe [t_0,t_1 ] .

Definitia 1.3: Sistemul Σ=(A,C) este complet observabil pe intervalul [t_0,t_1 ] daca nu exista nici o stare x_0≠0 ̅ neobservabila.

Avem urmatorul lant de afirmatii echivalente:

Σ este complet observabil ⇔ker⁡O(t_0,t_1 )={0}⇔det⁡〖O(t_0,t_1 ) ≠0⇔rang O(t_0,t_1 )=n 〗.

Sistemul Σ=(A,C) este complet observabil pe intervalul [t_0,t_1 ]⇔ rang O(t_0,t_1 )=n .

Determinarea starii initiale

Fie Σ=(A,B,C,D) un sistem complet observabil pe [t_0,t_1 ]⇒ gramianul O(t_0,t_1 ) are inversa , 〖O(t_0,t_1 )〗^(-1).

Aplicatia intrare –iesire :

y(t)=C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0+∫_(t_0)^t▒C(t)ϕ(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) ,t∈[t_0,t_1 ] ⇒

C(t)ϕ(t,t_0 ) x_0=y(t)-∫_(t_0)^t▒C(t)ϕ(t,s)B(s)u(s)ds-D(t)u(t)=y ̃(t).

Inmultim la stanga cu 〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T si integram pe [t_0,t_1 ]

∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 )dt x_0 〗=∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T y ̃(t)dt〗 (O(t_0,t_1 )=∫_(t_0)^(t_1)▒〖〖ϕ(t,t_0 )〗^T 〖C(t)〗^T C(t)ϕ(t,t_0 ) 〗 dt. Inmultim la stanga cu 〖O(t_0,t_1 )〗^(-1))