Analiza Soluției Modelului Consumatorului

Comportamentul de consum individual a fost descris cu ajutorul unui model simplu: cu un venit (V) şi la preţuri unitare ale bunurilor pk, k=1,2…,N fixate exogen , consumatorul decide cantităţile de bunuri xk, k=1,2,…,N pe care le achiziţionează astfel încât utilitatea consumului său să fie maximă. Soluţia modelului o reprezintă,deci funcţiile cererii de consum pentru că leagă cantitatea consumată dintr-un bun k de preţurile bunurilor şi de venitul alocat cumpărării acestor bunuri.

Scopul în acest paragraf este de a studia modificarea cererii de bunuri

atunci când variabilele exogene se modifică la rândul lor.

Scopul poate fi atins pe un model de dimensiuni reduse. Fie o economie în care există numai două bunuri, N=2. Variabilele endogene sunt componentele vectorului de consum x=(x1, x2)T, iar variabilele exogene sunt venitul disponibil V şi preţurile unitare ale celor două bunuri p=(px p2).Dată fiind funcţia de utilitate U(x)=U(x1, x2) , care descrie preferinţele consumatorului , modelul se scrie MaxU (x 1 , x 2) sub resticţia bugetară px = pxxx + p2x2 ≤ V.

Lagrangeanul asociat este:

Z(xl5 x2, λ) = U(xu x2) + λ - pxxx - p2x2)

unde este multiplicatorul Lagrange ataşat restricţiei bugetare.

Condiţiile de optimalitate de ordinal I conduc la următorul sistem de ecuaţii:

Sistemul (1) are soluţia :

x' = xx{px, p2,v);

x20 = x2(pl, p2,v)

Această soluţie reprezintă fucţiile cererii de bunuri.

Dacă ţinem cont de faptul că restricţia bugetară este liniară şi considerăm U(x1, x2) o funcţie de utilitate concavă ,atunci este îndeplinită şi condiţia de optimalitate de ordinul II, soluţia x° = (x", x2) fiind un maxim condiţionat.

Se observă , că în general condiţiile de optimalitate de ordinal I sunt ecuaţii de forma f(x)=0. Atunci când se produce un şoc exogen se strică echilibrul condiţiilor.Pentru a reface optimalitatea , trebuie ca variabilele endogene să se ajusteze astfel ca modificarea totală a membrului stâng să fie nulă,aceasta exprimă modificarea totală df(x)= 0.Diferenţiind sistmul (1) se obţine : d[U-λpx]= Uudxl + Ul2dx2 - λdpx - pxdλ = 0 d[U 2 - λp2] = U2ldxl + U22dx2 — λdp2 — p2dλ = 0 d[V- pxxx - p2x2] = dV - pxdxx - xxdpx - p2dx2 - x2dp2 = 0 unde Uk = d²U/,dxkdxs , k, s=1,2 sunt derivatele mixte de ordinul II ale funcţiei de utilitate, evaluate în punctual soluţie a sistemului (1).

Separând variaţia variabilelor endogene (dx1, dx2, dλ) rezultă sistemul de ecuaţii:

Undxl + Uudx2 - pxdλ = λp2 (2}U2ldxl + U22dx2 - p2dX = λp2

-pldxl -p2dx2 = -dV + xldpl + x2dp2